<?xml version="1.0"?>
<feed xmlns="http://www.w3.org/2005/Atom" xml:lang="cs">
	<id>https://wikisofia.cz/w/api.php?action=feedcontributions&amp;feedformat=atom&amp;user=HonzaB</id>
	<title>Wikisofia - Příspěvky uživatele [cs]</title>
	<link rel="self" type="application/atom+xml" href="https://wikisofia.cz/w/api.php?action=feedcontributions&amp;feedformat=atom&amp;user=HonzaB"/>
	<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/wiki/Speci%C3%A1ln%C3%AD:P%C5%99%C3%ADsp%C4%9Bvky/HonzaB"/>
	<updated>2026-05-14T22:36:14Z</updated>
	<subtitle>Příspěvky uživatele</subtitle>
	<generator>MediaWiki 1.33.0</generator>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Paradoxy&amp;diff=14600</id>
		<title>Paradoxy</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Paradoxy&amp;diff=14600"/>
		<updated>2015-01-20T11:16:09Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;:''Tento článek pojednává o různých matematických a logických paradoxech z pohledu filosofie logiky, nastiňuje různé přístupy a možnosti řešení. Články zaměřené na nejznámější z těchto paradoxů najdete [http://wikisofia.cz/index.php/Port%C3%A1l:Filosofie_logiky zde].''&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Paradox''' (z řeckého ''paradoxos'', což znamená nepodobný, neočekávaný, náhlý)&amp;lt;ref name=&amp;quot;wiki-paradox&amp;quot;&amp;gt;[http://cs.wikipedia.org/wiki/Paradox Paradox], článek na Wikipedia.cz&amp;lt;/ref&amp;gt; nastává v situaci, kdy za neproblematického použití běžně používaných a uznávaným metod dojdeme k nepřijatelnému závěru. Můžeme-li v nějaké teorii formulovat paradox, znamená to, že je sporná.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Sémantické paradoxy ==&lt;br /&gt;
=== Paradox lháře ===&lt;br /&gt;
:''Podrobnější článek na toto téma naleznete [[Paradox lháře|zde]].''&lt;br /&gt;
Je též označován jako '''Epiménidův''', '''Eubulidův''' či '''paradox Kréťana'''.&lt;br /&gt;
[[Alfred Tarski|Tarski]] říká, že tento paradox lze formulovat, pokud jazyk umí pojmenovat vlastní výrazy, obsahuje predikát pravdivý a platí logické zákony.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Existuje více různých variant, ale jejich podstata je stejná. Jde o '''autoreferenční výroky''', které uvádí, že v ten stejný okamžik nemají určitou vlastnost, tedy pravdivost. Nelze však zjistit pravdivostní hodnotu věty dříve, než určíme, co znamená.&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:''Tato věta je nepravdivá.''&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:''Nyní lžu.''&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
:''Epimenidés (původem z Kréty) říká: &amp;quot;Všichni Kréťani jsou lháři.&amp;quot;'' (tuto formulaci mnozí za paradoxní nepovažují)&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* '''autoreferenční věty''' jsou často problematické, ale jejich zakázáním tento paradox stejně neodstraníme, ''např.: Následující věta je pravdivá. Předchozí věta je nepravdivá.''&lt;br /&gt;
* zavedení '''teorie typů''' - různé stupně co smí být argumentem a co smí být predikátem&lt;br /&gt;
# individua&lt;br /&gt;
# vlastnosti individuí / množiny individuí&lt;br /&gt;
# vlastnosti vlastností individuí / množiny množin individuí&lt;br /&gt;
# ...&lt;br /&gt;
* rozdělení na '''jazyk''', '''metajazyk''', '''meta-metajazyk''' a tak dále, kdy každá věta může vypovídat pouze o větě z ostře nižší úrovně - někdy je problematické určit, na které úrovni se pohybujeme; takovým rozdělením pozměňujeme původní predikát ''pravdivý'', ubíráme mu na jeho absolutnosti, zavádíme ''&amp;quot;pravdivý v daném jazyce''&lt;br /&gt;
* klasická prvořádová predikátová logika - mohli bychom si pojmenovat/očíslovat výroky a tak o nich mluvit&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Paradox holiče ===&lt;br /&gt;
:''Tento paradox je sémantickou variantou takzvaného [[Russellův paradox|Russellova paradoxu]], ke kterému se dostaneme níže.''&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' ''Holič je muž, který holí muže, kteří neholí sami sebe.'' Problém nastává v okamžiku, kdy by holič holil sám sebe.&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Grellingův paradox ===&lt;br /&gt;
Pro tento paradox se též užívá označení heterologický.&lt;br /&gt;
:''Podrobnější článek na toto téma naleznete [[Grellingův paradox|zde]].''&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Tento paradox je založen na významu slov '''''heterologický''''' a '''''autologický'''''. Výraz je heterologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou sám nemá, například výraz anglický. Výraz je autologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou on sám má, například výraz český (jde o české slovo). Paradoxním je výraz heterologický.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
''&amp;quot;Problém s mluvením o smyslu označujícího komplexu může být vyjádřen takto: vložíme-li komplex do věty, bude tato věta o označeném; a jestliže vytvoříme větu, ve které bude podmětem &amp;quot;smysl [of] C&amp;quot;, bude podmět smyslem (je-li jaký) označeného, což nebylo zamýšleno. (...) Kdykoli se ovšem C vyskytne mimo uvozovky, není vypovídané pravdivé o smyslu, ale pouze o označeném, jako když řekneme: těžiště sluneční soustavy je bod. Abychom tedy mluvili o C samotném, tj. vytvořili větu o smyslu, podmět nesmí být C, ale něco, co označuje C. Tudíž &amp;quot;C&amp;quot;, které užíváme, když chceme mluvit o smyslu, nesmí být tímto smyslem, ale musí to být něco, co označuje tento smysl. A C nesmí být částí tohoto komplexu (jako ve &amp;quot;smysl [of] C&amp;quot;), neboť vyskytuje-li se C v tomto komplexu, bude se v ní vyskytovat to, co označuje, nikoli jeho smysl, a neexistuje cesta zpět od označeného ke smyslu, protože každý předmět může být označen nekonečným množstvím různých označujících frází. Tudíž by se zdálo, že &amp;quot;C&amp;quot; a C jsou rozdílné entity takové, že &amp;quot;C&amp;quot; označuje C; ale to nemůže být vysvětlení, protože vztah mezi &amp;quot;C&amp;quot; a C zůstává zcela záhadný.&amp;quot;''&amp;lt;ref name=&amp;quot;OnDenoting&amp;quot;&amp;gt; [http://revueltaredaccion.files.wordpress.com/2012/08/russell_on_denoting.pdf Bertrand Russell. On Denoting]. 1905.&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Problematický je přechod od výrazu k jeho vlastnosti a zpět. Použijeme-li nějaké označení, odkazuje k určitému objektu, smysl toho označení není týž, jako smysl objektu. Tedy od extenze k intenzi nevede jednoznačná cesta.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Paradoxy &amp;quot;naivní&amp;quot; teorie množin ==&lt;br /&gt;
* odstraněny uměle pomocí axiomatiky&lt;br /&gt;
=== Russellův paradox ===&lt;br /&gt;
=== Cantorův paradox ===&lt;br /&gt;
* '''axiom vydělení''': &amp;lt;math&amp;gt;\forall a \exists b \forall x ((x \in b)\equiv (x \in a \wedge \varphi(x))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
== Paradoxy neostrého predikátu ==&lt;br /&gt;
=== Sorites ===&lt;br /&gt;
Tento paradox má opět více variant. Pojmenování ''&amp;quot;sorites&amp;quot;'' pochází z řečtiny a znamená původně ''hromada''.&lt;br /&gt;
==== Paradox hromady ====&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Mějme hromadu písku. Ubereme-li z ní jedno zrnko, máme stále hromadu. Ubereme-li další, máme stále hromadu. Takto můžeme pokračovat... Budeme-li zrnka písku odebírat dostatečně dlouho, zůstanou před námi například dvě, nebo jen jedno zrnko. Je to stále hromada? A pokud ne, kdy nastala změna?&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== Paradox holohlavého muže ====&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Mějme holohlavého muže. Tomu na hlavě vyroste jeden vlas... Dostáváme se do obdobné situace jako výše.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
==== Barevné spektrum ====&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Při pohledu na barevné spektrum můžeme přejít pohledem například od zelené ke žluté barvě, ale nevidíme mezi nimi jasnou hranici.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Paradoxy kontinua a pohybu ==&lt;br /&gt;
=== Zenonovy aporie ===&lt;br /&gt;
==== Achillés a želva ====&lt;br /&gt;
==== Letící šíp ====&lt;br /&gt;
==== Půlení intervelů ====&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Paradoxy pravděpodobnosti ==&lt;br /&gt;
=== Monty Hallův paradox ===&lt;br /&gt;
Též označovaný jako '''problém tří dveří''', je pojmenován po moderátorovi americké televizní soutěže.&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Představme si televizní soutěž, soutěžící má před sebou troje dveře, dvoje z nich za sebou skrývají kozu, jedny za sebou mají vytoužené auto. Soutěžící si zvolí jedny dveře, ze zbývajících dvou se otevřou jedny, za kterými je koza. Nyní má možnost změnit svoji volbu. Otázka zní, zda se to vyplatí. Pravděpodobnost říká, že ano! Na začátku je šance soutěžícího na výhru 1/3, když vybírá se zbylých dvou možností, jeho šance je 2/3.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Obálkový paradox===&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''''Znění:''''' Mějme před sebou dvě obálky, v jedné 1000 Kč, v druhé 2000 Kč. Vezmeme-li do ruky jednu (libovolně), je výhodné svůj výběr změnit? Podle pravděpodobnosti ano! Buď ztratíme polovinu částky, kterou máme v ruce, nebo ji zdvojnásobíme. Toto bychom však mohli dělat do nekonečna...&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''''Zajímavost:''''' Přibližně od roku 1973 se každoročně vydává minimálně jeden článek na toto téma.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Diagonální metoda ==&lt;br /&gt;
Diagonální metodu použil [[Georg Cantor|Georg Cantor]] pro dokázání, že reálných čísel je nespočetně mnoho. Cantorova diagonální metoda důkazu je velmi dobře vysvětlena v článku na [http://cs.wikipedia.org/wiki/Cantorova_diagon%C3%A1ln%C3%AD_metoda Wikipedii].&lt;br /&gt;
* poměrně silná metoda, protože s ní lze dokázat nekonečné mohutnosti&lt;br /&gt;
* potenciální vs. aktuální nekonečno&lt;br /&gt;
Tuto metodu můžeme aplikovat i na vlastnosti, je možností řešení [[Grellingův paradox|Grellingova paradoxu]]. Vlastnosti &amp;lt;math&amp;gt;V_1, V_2, ...&amp;lt;/math&amp;gt; uspořádáme do tabulky tak, že:&lt;br /&gt;
* píšeme 0, jestliže &amp;lt;math&amp;gt;V_i&amp;lt;/math&amp;gt; nemá vlastnost &amp;lt;math&amp;gt;V_i&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* píšeme 1, jestliže &amp;lt;math&amp;gt;V_i&amp;lt;/math&amp;gt; má vlastnost &amp;lt;math&amp;gt;V_i&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
Pak diagonála určuje také vlastnost, která však v tabulce není navzdory tomu, že jsme předpokládali seznam všech vlastností. Můžeme tedy říct, že diagonála neurčuje vlastnost. Problém je, proč by ale neměla. Nebo můžeme říci, že '''vlastnosti''' a '''vlastnosti vlastností''' jsou odlišné - v tabulce máme vlastnosti a na diagonále je vlastnost vlastností. Pro některé však toto nemůže platit, například '''''dobré''' jablko'', '''''dobré''' je být člověkem''.&lt;br /&gt;
== Hilbertův hotel ==&lt;br /&gt;
Máme-li hotel s nekonečným spočetným počtem pokojů, který je plně obsazen, vždy v něm můžeme ubytovat dalšího hosta. Dokonce přijede-li plně obsazený autobus s nekonečně (spočetně) místy, můžeme ubytovat i všechny cestující. Jde-li o konečný počet osob, necháme dosavadní hosty, aby se přestěhovali do pokoje s číslem vyšším o počet budoucích hostů. Potřebný počet pokojů se nám uvolní. V případě nekonečně mnoha cestujících necháme hosty, aby se přestěhovali do pokojů s dvojnásobným číslem. Tím se uvolní všechny pokoje se sudými čísly.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Skolemův paradox ==&lt;br /&gt;
ZFC má spočetný model - Každý model ZFC musí obsahovat kardinály větší než omega, potenci omega, ta je dle Cantorovi věty ostře větší než omega, jak tedy může být obsažena ve spočetném modelu ZFC?&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Hilary W.Putnam: Modely a realita '''&amp;quot;(...) To, co skolem ve skutečnosti dokázal, se týká následující věci: žádná zajímavá teorie (ve smyslu teorie prvního řádu) nemůže sama o sobě a ze sebe vymezit předměty, o nichž pojednává - ani když nám jde jenom o vymezení 'až na isomorfismus'. (...) Ta hlavní potíž však spočívá už v tom, že nám důsledky Skolemova argumentu vůbec problematické připadají. Připadají nám tak jen proto, že jsme se dopustili dvou věcí: nejprve jsme porozumění jazyku vysvětlili prostřednictvím programů a procedur pro užívání jazyka (jak taky jinak?); abychom si pak vzápětí položili otázku, jaké jsou 'modely' daného jazyka, jako by modely byly něčím, co prostě 'někde' existuje nezávisle na jakémkoli popisu. &amp;quot; ''(přel. Jan Kolář, v Logika 20.Století: Mezi filosofií a matematikou, uspořádal J. Peregrin, Filosofia Praha 2006, str. 393-422)''&lt;br /&gt;
== Zdroje ==&lt;br /&gt;
Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky [https://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?id=fca8801e0e3296b0da955061e92459fa&amp;amp;tid=&amp;amp;do=predmet&amp;amp;kod=ALG110016&amp;amp;skr=2014 Filosofie logiky].&lt;br /&gt;
Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete [http://wikisofia.cz/index.php/Port%C3%A1l:Filosofie_logiky zde].&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[http://wikisofia.cz/index.php/Port%C3%A1l:Analytick%C3%A1_filosofie Analytická filosofie]&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Paradox lháře]]&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Grellingův paradox]]&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Russellův paradox]]&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Cantorův paradox]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Filosofie logiky]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=V%C3%BDrazy_ve_v%C4%9Bt%C4%9B&amp;diff=14595</id>
		<title>Výrazy ve větě</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=V%C3%BDrazy_ve_v%C4%9Bt%C4%9B&amp;diff=14595"/>
		<updated>2015-01-20T10:48:03Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Definice spojené s obecnými výrazy a konstantami */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;Níže si uvedeme podstatné části, které rozlišujeme ve větě. Jde o singulární výrazy, obecné výrazy...&lt;br /&gt;
== Singulární výrazy ==&lt;br /&gt;
Singulární výrazy se snaží označit určité individuum. To lze buď pomocí vlastního jména, nebo určitými popisy (''definite descriptions'').&lt;br /&gt;
=== Vlastní jména ===&lt;br /&gt;
Vlastní jména slouží k označení '''určitého individua''', nenesou informaci o vlastnostech a nelze je nahradit predikátem.&lt;br /&gt;
* [[Noam Chomsky|Chomsky]]: vlastní jméno denotuje, ale nekonotuje&lt;br /&gt;
* [[Ludwig Wittgenstein|Wittgenstein]]: když někdo zemře, už tedy neexistuje, už bychom o něm nemohli mluvit&lt;br /&gt;
* [[Bertrand Russell|Russell]]: vlastní jména jsou zkratky za určitý popis&lt;br /&gt;
* [[Saul Kripke|Kripke]]: vlastní jméno označuje konkrétní individuum - jde o pevný znak (''rigid designator''); nepojí se s~určitým popisem&lt;br /&gt;
* '''minimalistická teorie''': vlastní jméno s sebou nese smysl pouze ten, že jde o vlastní jméno, které bylo někomu přiděleno v komunikačním procesu (při narození, při křtu...)&lt;br /&gt;
* [[Gottlob Frege|Frege]]: výraz vyjadřuje smysl (''Sinn'') a označuje význam (''Bedeutung''), neboli denotuje denotát, neboli referuje k referentu&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
Příklady:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
- ''Nejprodávanější český autor.'' Rozumíme sice smyslu věty, ale nejsme si jisti, o jaké individuum přesně jde.&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
-''Jitřenka je večernice. Průsečík těžnic &amp;lt;math&amp;gt;t_{a}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;t_{b}&amp;lt;/math&amp;gt; v trojúhelníku ABC je rovný průsečíku těžnic &amp;lt;math&amp;gt;t_{b}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;t_{c}&amp;lt;/math&amp;gt; v trojúhelníku ABC.''&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
Tyto dvě věty jsou tvrzení identity. Jsou jen o smyslu, na významu se sbíhají.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Určité popisy ===&lt;br /&gt;
K užívání určitých popisů potřebujeme určité věcné znalosti. Někdy jsou brány za správně užité jen v případě, že existuje právě jeden objekt, který popis splňuje. Existence individuí je fixována v universu, nelze tedy mluvit o neexistujících objektech. Předpokládáme, že individuové konstanty jsou neprázdné.&lt;br /&gt;
* [[Saul Kripke|Kripke]]: určitý popis nám někoho popisuje jen za určitých okolností, které však mohou být jinak, jde o nahodilé skutečnosti (viz Teorie možných světů); nepojí se s vlastním jménem&lt;br /&gt;
* [[Bertrand Russell|Russell]]: analýza využívá výchozího předpokladu, neboli presupozice&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
Příklad:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
'''''q''': Současný francouzský král je holohlavý.''&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
'''''p''': V současnosti existuje právě jeden francouzský král.'' (presupozice)&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
Obecně platí, že &amp;lt;math&amp;gt;q \rightarrow p&amp;lt;/math&amp;gt; a zároveň &amp;lt;math&amp;gt;\neg q \rightarrow p&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Obecné výrazy ==&lt;br /&gt;
Obecné výrazy lze vypovídat o více individuích naráz, vztahují se spíš k nějaké vlastnosti, charakteristice, kterou tato individua sdílí. Těchto obecnin se týká naše poznání, dá se říct, že jsou poměrně problematické. Tyto spory se táhnou dodnes.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Krajní realismus''' je zastoupen Platónem.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Umírněný realismus''' je zastoupen Aristotelem, uznává věcnou shodu obecnin na straně věcí, obdobně jako krajní verze realismu.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Nominalismus''' zastává názor, že ideje neexistují, záleží na našich výrazech a tom, jak je užijeme.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Konceptualismus''' - co je obecné je nějaký pojem v lidské mysli, akt rozumu, konstitutivní složka poznání.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Novodobé přístupy''' - argumenty ve sporech množinového a intenzionálního přístupu se velmi podobají těm, které se vyskytují ve středověkých sporech o univerzálie.&lt;br /&gt;
* věta = jméno pravdivostní hodnoty&lt;br /&gt;
* extenzionální přístup: zájem o množinu namísto neuchopitelného pojmu&lt;br /&gt;
* množiny, do kterých pojmy spadají, se mění; vlastnost neurčuje množinu jednoznačně&lt;br /&gt;
'''Frege'''&lt;br /&gt;
* &amp;quot;jedno v mnohém&amp;quot;&lt;br /&gt;
* význam obecných výrazů - pojem je '''předpis nenasycené funkce'''; množina daná fcí je označována jako '''průběh hodnot'''&lt;br /&gt;
:Platónův '''argument třetího člověka''': Uděláme-li z vlastnosti objekt a postavíme jej samostatně, musíme postulovat další vlastnosti. Námitka proti tomuto argumentu je taková, že idea se chová jinak a nemůže participovat sama na sobě. Uchopíme-li pojem, přestává být pojmem.&lt;br /&gt;
Koextenzivní pojmy jsou vzájemně nahraditelné, takže pro účely logiky nezáleží na tom, který užijeme, množiny užíváme jako zastoupení obecnin.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Quine'''&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Množiny jsou abstraktní objekty na úrovni platónských idejí, nelze tedy vyjmenovat vše v nich obsažené.&lt;br /&gt;
:'''Mýtus muzea''' - význam se neučíme jako údaje o objektech v muzeu, nýbrž pozorujeme, jak ostatní mluvčí výrazy používají, z čehož se je také naučíme používat - podle zažitých pravidel&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Sloveso být ==&lt;br /&gt;
Sloveso být užíváme různými způsoby, ale stále se týká bytí. Obdobně zdravý člověk, zdravá potravina - oboje se týká zdraví.&lt;br /&gt;
* být prvkem nějaké množiny &amp;lt;math&amp;gt;s \in M&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* inkluze - jeden pojem je obsažen v druhém &amp;lt;math&amp;gt;\forall x (S(x) \rightarrow M(x))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* identita &amp;lt;math&amp;gt;j=v&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* tvrzení existence &amp;lt;math&amp;gt;\exists x J(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Identita ===&lt;br /&gt;
# numerická - jde o jeden předmět&lt;br /&gt;
# kvalitativní - dva předměty jsou identické v nějakých kvalitách, ale stále zůstávají dvěma různými předměty&lt;br /&gt;
# extenzionální identita - dva objekty jsou identické, mají-li tutéž extenzi&lt;br /&gt;
* Quine: ''No entity without identity.''&lt;br /&gt;
* Příklad - čistě logické tvrzení: &amp;lt;math&amp;gt;\exists x \exists y \neg(x=y)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* '''Leibnizův princip identity''': ''&amp;lt;math&amp;gt;x=y&amp;lt;/math&amp;gt; právě tehdy, když &amp;lt;math&amp;gt;\forall F (F(x)\rightarrow F(y))&amp;lt;/math&amp;gt;; do klasické predikátové logiky přidáme axiomatická schémata: &amp;lt;math&amp;gt;\forall x(x=x)&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\forall x, y((x=y)\rightarrow (F(x)\rightarrow f(y)))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Existence ===&lt;br /&gt;
Existence se nechová jako běžná vlastnost individua, nejde o prvořádovou vlastnost. Vztahuje se k příslušnému pojmu - zda pod něj něco spadá, či nikoli - jde tedy o '''druhořádovou vlastnost'''.&lt;br /&gt;
* [[Willard Van Orman Quine|Quine]]: ''To be is to be the value of a variable.''&lt;br /&gt;
* [[Alexius Meinong|Meinong]]: pokud o něčem přemýšlíme, má to existenci alespoň v naší mysli ''(jednorožec, Harry Potter)'' - tzv. '''meinongovské universum'''&lt;br /&gt;
=== Kvantifikace ===&lt;br /&gt;
# substituční pojetí - dosazení jazykového výrazu, hodnotíme vzniklé věty&lt;br /&gt;
# předmětné (objektové) pojetí - nekvantifikujeme přes jména, protože by nám nemusela stačit - díváme se přímo na objekty&lt;br /&gt;
=== Universum ===&lt;br /&gt;
Máme-li jedno obecné universum, stává se práce v něm poměrně nepřehlednou. Rozdělíme si jej tedy na menší univerza. Takové univerzum je volitelné, jeho podoba záleží na nás. Tím se můžeme dostat do problému - individuové konstanty se stávají relativními.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Synkategorematické výrazy ==&lt;br /&gt;
* přepisovány pomocí logických konstant&lt;br /&gt;
* ''například jestliže, pak, každý''&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Logické konstanty ==&lt;br /&gt;
Vyplývání platí na základě logické formy. Co však je logická forma, s čím souvisí?&lt;br /&gt;
Není žádné ostré rozdělení, co jsou logické konstanty a co už ne. Očekává se, že budou patřit do všech typů diskurzu. Důležité je, že nesmí být vágní. Axiomatický systém určuje význam dané spojky, takže ve dvou různých systémech má stejně vypadající spojka různý význam.&lt;br /&gt;
* sémantická definice vyplývání&lt;br /&gt;
* požadavek extenzionálního vymezení - týká se hlavně spojek - množina spojek je adekvátní, pokud je schopna zachytit všechny možné pravdivostní fce&lt;br /&gt;
* '''negace''' v přirozeném jazyce se nechová souměrně&lt;br /&gt;
* implikace&lt;br /&gt;
** '''materiální implikace''' - paradox: &amp;lt;math&amp;gt;p \rightarrow (q \rightarrow p)&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\neg p \rightarrow (p \rightarrow q)&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
** '''striktní implikace''': &amp;lt;math&amp;gt;(p \rightarrow q)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* '''modální operátory''': zdá se, že pojem ''nutně'' do logiky patří, pomáhá definovat vyplývání&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Definice spojené s obecnými výrazy a konstantami ===&lt;br /&gt;
definiendum &amp;lt;math&amp;gt;=_{df}&amp;lt;/math&amp;gt; definiens : '''definiendum '''(to co definujeme) je definován pomocí '''definiens '''(to čím definujeme)&lt;br /&gt;
* '''reálná definice''' - definujeme podstatu, neboli esenci&lt;br /&gt;
** '''esenciální vlastnost''' - udávají podstatu (měly by se dát vyjádřit definicí) X '''nahodilá vlastnost'''&lt;br /&gt;
* '''stipulativní definice''' - zavedení termínu, dohoda, nemůže být pravdivá ani nepravdivá X '''deskriptivní definice'''&lt;br /&gt;
* '''extenzionální definice''' - vyjmenování, ukázání X '''intenzionální definice'''&lt;br /&gt;
* '''Vymezení extenzí'''&lt;br /&gt;
** '''ostenzivní definice''' - nemusí vyčlenit požadovanou část (ukazujeme na králíka, nebo jen jeho část? - ukážeme na králíka a řekneme &amp;quot;toto je význam slova 'králík' &amp;quot; &lt;br /&gt;
** '''kvaziostenzivní definice '''- ukážeme na králíka a řekneme &amp;quot; 'králík' je zvíře jako tohle&amp;quot; (tj. narozdíl od ostenzivní definice abstrahujeme od konkrétního králíka)&lt;br /&gt;
* '''Vymezení intenzí - '''pojem definuje z (intenzí) ostatních pojmů pomocí ''nadřezeného rodu (genus proximum) ''a ''druhového rozdílu (differentia specifica) ''v tomto smyslu je: člověk = živočich ''(genus proximum) ''rozumný'' (differentia specifica) ''(viz strom Porfyrův)&lt;br /&gt;
* '''teoretická definice''' - definice v rámci určité [[Teorie|teorie]] &lt;br /&gt;
* '''operativní definice''' - co změříme, definováno pomocí měřítek&lt;br /&gt;
* '''rekurzívní definice'''&lt;br /&gt;
* '''lexikální definice '''- definujeme výraz dle jeho 'statistického' užívání v jazyce&lt;br /&gt;
* '''synonymní definice''' - známe pojem, volíme jiný výraz, typické pro slovníky&lt;br /&gt;
* '''implicitní definice''' - axiomatický systém je implicitní definicí pojmů; WV fce f je stejný jako WV fce g právě tehdy, když &amp;lt;math&amp;gt;\forall x(f(x)=g(g))&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* '''explikace''' - definujeme pomocí jiného pojmu, ačkoli nevystihneme všechny rysy '''př'''. definujeme číslo '4' jako množinu {0,1,2,3} tím nám vznikne nová vlastnost čísel (3 je prvkem 4), kterou jsme možná nechtěli, nicméně nám tato definice přesto pomáhá lépe pracovat s pojmem čísla 4 (a v budoucnu může výt zpřesněna)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== vlastnosti definic ====&lt;br /&gt;
* široká&lt;br /&gt;
* úzká&lt;br /&gt;
* zkřížená - '''př. : '''&amp;quot;Lékař je člověk pracující v nemocnici&amp;quot; - lékaří nepracují jen v nemocnicích -'''úzká definice''' a zároveň v nemocnicích nepracují jen lékaři - '''široká definice '''(tudíž zkřížená)&lt;br /&gt;
* ''obscurum per obscurius - ''definiční chyba - definovat něco něčím ještě mnohem složitějším, méně intuitivním, sporně definovatelným&lt;br /&gt;
== Zdroj ==&lt;br /&gt;
Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky [https://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?id=fca8801e0e3296b0da955061e92459fa&amp;amp;tid=&amp;amp;do=predmet&amp;amp;kod=ALG110016&amp;amp;skr=2014 Filosofie logiky]. Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete [http://wikisofia.cz/index.php/Port%C3%A1l:Filosofie_logiky zde].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie: Filosofie logiky]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9445</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9445"/>
		<updated>2014-11-24T11:48:17Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Vlastnosti */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9444</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9444"/>
		<updated>2014-11-24T11:46:59Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Konstrukce */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9443</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9443"/>
		<updated>2014-11-24T11:45:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Konstrukce */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9442</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9442"/>
		<updated>2014-11-24T11:44:54Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Konstrukce */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
\t[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9441</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9441"/>
		<updated>2014-11-24T11:42:20Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Konstrukce */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
end{align*}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9439</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9439"/>
		<updated>2014-11-24T11:41:10Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* Vlastnosti */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9438</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9438"/>
		<updated>2014-11-24T11:39:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* \mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9437</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=9437"/>
		<updated>2014-11-24T11:38:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: /* ﻿$ \mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) $
﻿ */&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme &amp;lt;math&amp;gt;\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;, kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii &amp;lt;math&amp;gt;T\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt;. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; následovně:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt; \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Označme nyní &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; ekvivalenční třídu pro &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; a uvažme &amp;lt;math&amp;gt;B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt;  na níž definujme operace &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt; ('''průsek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt; ('''sjednocení'''), &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt; ('''komplement''') a prvky &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''maximální prvek'''), &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; je Booleova algebra.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; definujeme operace na &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt;. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny &amp;lt;math&amp;gt;M\subseteq B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou konjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt;, obdobně nekonečné sjednocení množiny &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; jako nekonečnou disjunkci formulí z &amp;lt;math&amp;gt;M&amp;lt;/math&amp;gt; avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in\mathit{Form_L}&amp;lt;/math&amp;gt; potom pro &amp;lt;math&amp;gt;M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}&amp;lt;/math&amp;gt; definujme&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i &amp;lt;math&amp;gt;B(T)&amp;lt;/math&amp;gt; chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace &amp;lt;math&amp;gt;\leq&amp;lt;/math&amp;gt;:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
neboť &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]&amp;lt;/math&amp;gt; v &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; vlastně znamená &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi&amp;lt;/math&amp;gt;, což je ekvivalentní s &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt; dostáváme:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}(T)&amp;lt;/math&amp;gt; lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; je falsisikovaná vždy naopak &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]&amp;lt;/math&amp;gt; k &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde &amp;lt;math&amp;gt;p\leq q&amp;lt;/math&amp;gt; interpretujeme jako ''&amp;quot;&amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; je silnější podmínka než &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; je teorie prvořádové predikátové logiky a &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt; její jazyk, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;&amp;lt;/math&amp;gt; kde  &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}&amp;lt;/math&amp;gt; a  &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''sporná''', potom &amp;lt;math&amp;gt;\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy i &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=1&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''', je &amp;lt;math&amp;gt;|B(T)|\geq2&amp;lt;math&amp;gt; neboť &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)&amp;lt;/math&amp;gt; a proto &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|=2&amp;lt;/math&amp;gt; neboť z úplnosti &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \top&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot&amp;lt;/math&amp;gt; z čehož plyne, že &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; nebo &amp;lt;math&amp;gt;[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a tedy &amp;lt;math&amp;gt;L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
*Je-li &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom &amp;lt;math&amp;gt;|L(T)|\geq 4&amp;lt;/math&amp;gt; neboť existuje sentence &amp;lt;math&amp;gt;\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; t.ž. &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash \sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;T \nvdash\neg\sigma&amp;lt;/math&amp;gt; a tudíž &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; a proto jsou &amp;lt;math&amp;gt;[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; čtyři navzájem různé prvky &amp;lt;math&amp;gt;L(T)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře &amp;lt;math&amp;gt;LT(T)&amp;lt;/math&amp;gt; pro vhodné &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, potom &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; je jazyk obsahující pouze parametry z &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; množina formulí &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; v jazyce &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}(P)&amp;lt;/math&amp;gt; kde &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; má právě &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;volných proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině &amp;lt;math&amp;gt;\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; můžeme opět zavést ekvivalenci &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt; jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také &amp;lt;math&amp;gt;\equiv_T&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\wedge&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;\vee&amp;lt;/math&amp;gt;, &amp;lt;math&amp;gt;-&amp;lt;/math&amp;gt;,&amp;lt;math&amp;gt;\textbf{0}&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;\textbf{1}&amp;lt;/math&amp;gt; jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme &amp;lt;math&amp;gt;T=Th(\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť &amp;lt;math&amp;gt;\mathfrak{A}&amp;lt;/math&amp;gt; je struktura s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; a &amp;lt;math&amp;gt;P\subseteq A&amp;lt;/math&amp;gt;, řekneme, že množina &amp;lt;math&amp;gt;X \subseteq A^n&amp;lt;/math&amp;gt; je &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelná pokud existuje &amp;lt;math&amp;gt;\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}&amp;lt;/math&amp;gt; taková, že &amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt; definuje &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt;. Soubor všech &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelných množin na &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; označíme &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá &amp;lt;math&amp;gt;[\varphi]_{\equiv_T}&amp;lt;/math&amp;gt; z &amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; definuje právě jednu &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt;-definovatelnou množinu v &amp;lt;math&amp;gt;A^n&amp;lt;/math&amp;gt; nepřekvapí nás, že platí:&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;&amp;lt;br/&amp;gt;&lt;br /&gt;
kde &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem &amp;lt;math&amp;gt;B_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt;.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra &amp;lt;math&amp;gt;\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})&amp;lt;/math&amp;gt; slouží k definici &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt;-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie:Struktury a algebry]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8350</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8350"/>
		<updated>2014-11-14T22:56:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]] &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
'''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako ''&amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, potom $\mathcal{L}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce $\mathcal{L}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv_T$ jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme $T=Th(\mathfrak{A})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$.&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, řekneme, že množina $X \subseteq A^n$ je $P$-definovatelná pokud existuje $\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$. Soubor všech $P$-definovatelných množin na $A$ označíme $B_n(P,\mathfrak{A})$&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi]_{\equiv_T}$ z $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$ definuje právě jednu $P$-definovatelnou množinu v $A^n$ nepřekvapí nás, že platí:$$\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$$ kde $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}$ je algebra množin s nosičem $B_n(P,\mathfrak{A})$.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$ slouží k definici $n$-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8349</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8349"/>
		<updated>2014-11-14T22:55:14Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]] &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako ''&amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, potom $\mathcal{L}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce $\mathcal{L}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv_T$ jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme $T=Th(\mathfrak{A})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$.&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, řekneme, že množina $X \subseteq A^n$ je $P$-definovatelná pokud existuje $\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$. Soubor všech $P$-definovatelných množin na $A$ označíme $B_n(P,\mathfrak{A})$&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi]_{\equiv_T}$ z $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$ definuje právě jednu $P$-definovatelnou množinu v $A^n$ nepřekvapí nás, že platí:$$\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$$ kde $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}$ je algebra množin s nosičem $B_n(P,\mathfrak{A})$.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$ slouží k definici $n$-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Použitá literatura ===&lt;br /&gt;
* Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&lt;br /&gt;
* Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012&lt;br /&gt;
* A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&lt;br /&gt;
* Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8348</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8348"/>
		<updated>2014-11-14T22:47:37Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]] &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako ''&amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, potom $\mathcal{L}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce $\mathcal{L}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
Na množině $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv_T$ jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme $T=Th(\mathfrak{A})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$.&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, řekneme, že množina $X \subseteq A^n$ je $P$-definovatelná pokud existuje $\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$. Soubor všech $P$-definovatelných množin na $A$ označíme $B_n(P,\mathfrak{A})$&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi]_{\equiv_T}$ z $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$ definuje právě jednu $P$-definovatelnou množinu v $A^n$ nepřekvapí nás, že platí:$$\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$$ kde $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}$ je algebra množin s nosičem $B_n(P,\mathfrak{A})$.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$ slouží k definici $n$-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Doporučená literatura ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8344</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8344"/>
		<updated>2014-11-14T22:34:15Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;'''Lindenbaum - Tarského algebra''' je speciální [[Booleova algebra]] na množině formulí [[Hilbertovský kalkul|klasické predikátové logiky]] &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako ''&amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot;'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako ''&amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;''.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) ===&lt;br /&gt;
'''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, potom $\mathcal{L}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce $\mathcal{L}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Na množině $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv_T$ jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme $T=Th(\mathfrak{A})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, řekneme, že množina $X \subseteq A^n$ je $P$-definovatelná pokud existuje $\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$. Soubor všech $P$-definovatelných množin na $A$ označíme $B_n(P,\mathfrak{A})$&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi]_{\equiv_T}$ z $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$ definuje právě jednu $P$-definovatelnou množinu v $A^n$ nepřekvapí nás, že platí:$$\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$$ kde $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}$ je algebra množin s nosičem $B_n(P,\mathfrak{A})$.&amp;lt;ref&amp;gt;A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Algebra $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$ slouží k definici $n$-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Doporučená literatura ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Teorie modelů]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8340</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8340"/>
		<updated>2014-11-14T21:31:48Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&lt;br /&gt;
== Konstrukce == &lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako &amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot; (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako &amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;.&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=&amp;lt;LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.&amp;lt;ref&amp;gt;Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10&amp;lt;/ref&amp;gt;&lt;br /&gt;
== Odkazy ==&lt;br /&gt;
=== Reference ===&lt;br /&gt;
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
=== Doporučená literatura ===&lt;br /&gt;
=== Související články ===&lt;br /&gt;
[[Booleova algebra]]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[Forcing]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Port%C3%A1l:Teorie_mno%C5%BEin&amp;diff=8339</id>
		<title>Portál:Teorie množin</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Port%C3%A1l:Teorie_mno%C5%BEin&amp;diff=8339"/>
		<updated>2014-11-14T20:49:06Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;* [[Forcing]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;div class=&amp;quot;otherHeadBox&amp;quot; style=&amp;quot;background-color: #c0c0c0;&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;center&amp;gt;'''Doporučená literatura'''&amp;lt;/center&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
* [http://logika.ff.cuni.cz/radek/ HONZÍK Radek]. (heslo pro přístup ke skriptům na vyžádání u vyučujícího)&amp;lt;br/&amp;gt;''Set theory I and II'', skripta obou semestrů přednášek Teorie množin.&lt;br /&gt;
* BALCAR Bohuslav, ŠTĚPÁNEK Petr. ''Teorie množin: Kapitoly 0, 1 a 2.'' Academia, Praha, 1986.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Kategorie: Logika|T]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8336</id>
		<title>Lindenbaum-Tarského algebry</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Lindenbaum-Tarsk%C3%A9ho_algebry&amp;diff=8336"/>
		<updated>2014-11-14T20:21:54Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: Založena nová stránka s textem „== Lindenbaum-Tarského algebry == == Definice == == Konstrukce == Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech pr…“&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== Lindenbaum-Tarského algebry ==&lt;br /&gt;
== Definice ==&lt;br /&gt;
== Konstrukce ==&lt;br /&gt;
Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:&lt;br /&gt;
$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$&lt;br /&gt;
Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:&lt;br /&gt;
\begin{align*}&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
-[\varphi]_{\equiv_T} &amp;amp;= [\neg\varphi]\\&lt;br /&gt;
\textbf{1} &amp;amp;= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\&lt;br /&gt;
\textbf{0} &amp;amp;= [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}&lt;br /&gt;
\end{align*}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Potom $\mathbb{B}(T)=&amp;lt;B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}&amp;gt;$ je Booleova algebra.\\&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.&lt;br /&gt;
=== Spočetný průsek a sjednocení ===&lt;br /&gt;
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.&lt;br /&gt;
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\&lt;br /&gt;
Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$&lt;br /&gt;
=== Uspořádání na B(T) ===&lt;br /&gt;
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\&lt;br /&gt;
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako &amp;quot;čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením&amp;quot; (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve forcingu, kde $p\leq q$ interpretujeme jako &amp;quot;$p$ je silnější podmínka než $q$&amp;quot;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== Vlastnosti ==&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \&amp;amp; \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \&amp;amp; \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\&lt;br /&gt;
*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.&lt;br /&gt;
== Zdroje ==&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
	<entry>
		<id>https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Wikisofia_sout%C4%9B%C5%BE&amp;diff=8335</id>
		<title>Wikisofia soutěž</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Wikisofia_sout%C4%9B%C5%BE&amp;diff=8335"/>
		<updated>2014-11-14T20:06:56Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;HonzaB: &lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;[[Soubor:Keep calm.png|200px|vpravo]]&lt;br /&gt;
'''&amp;lt;div style=&amp;quot;font-size:20px; margin-bottom:10px;&amp;quot;&amp;gt;Studuješ na FF UK? Chceš &amp;lt;span style=&amp;quot;color: #3f9ae6;&amp;quot;&amp;gt;účinně uplatnit své seminárky&amp;lt;/span&amp;gt; a ještě za to dostat odměnu? Napiš heslo na wikisofii a vyhraj!&amp;lt;/div&amp;gt;'''&lt;br /&gt;
* '''Ceny''': Nejlepší články budou odměněny finančně (200-600 kč)!&lt;br /&gt;
* '''Trvání soutěže''': Od 5. 11. do 14. 11. (včetně)&lt;br /&gt;
* '''Vyhlášení výsledků''': 15. 11. (na [https://www.facebook.com/wikisofia] a v [[Wikisofia:Aktuality|Aktualitách]])&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;font-size:24px;&amp;quot;&amp;gt;Podmínky soutěže&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
* Musí jít o '''původní článek''' (čili ne přeložený, převzatý, překopírovaný odjinud)&lt;br /&gt;
** Lze využít texty Vámi zpracované v rámci atestací během studia.&lt;br /&gt;
* Článek by měl [[Nápověda:Struktura článku|strukturou]] a délkou odpovídat [[Lateralita|vzorovému článku]].&lt;br /&gt;
* Při zpracovávání textu se řiďte [[Nápověda:Zásady vypracování článků|Zásadami vypracovávání článku]].&lt;br /&gt;
* Do '''termínu uzavření soutěže''' (23:59, 14.11) lze články upravovat a měnit dle libosti.&lt;br /&gt;
Pro účast vyplňte do následující tabulky své jméno, svůj studijní obor a název článku, který přihlašujete do soutěže ([[Nápověda:Jak začít?|Jak začít s WikiSofií?]]).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; width=&amp;quot;100%&amp;quot;&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
! Jméno !! Studijní obor !! Heslo&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| Adam Novák  || Psychologie  || [[Arteterapie]] &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| Daniel Patzelt&lt;br /&gt;
|| Psychologie&lt;br /&gt;
|| [[Haló efekt]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| Marek Pour&lt;br /&gt;
||  Psychologie&lt;br /&gt;
|| [[Podobnost psů a jejich majitelů]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| Jan Bydžovský&lt;br /&gt;
||  Logika&lt;br /&gt;
|| [[Lindenbaum-Tarského algebry]]&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| || || &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| ||  || &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| || || &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| ||  || &lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| ||  || &lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;center&amp;gt;&amp;lt;span style=&amp;quot;color: #3f9ae6; font-size: 18px;&amp;quot;&amp;gt;Nepiš do šuplíku! Piš na wikisofii!&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/center&amp;gt;&lt;br /&gt;
V případě nejasností se nejprve podívejte do [[Nápověda:Obsah|nápovědy]], případně se ptejte na ''info@wikisofia.cz'' nebo [https://www.facebook.com/wikisofia]. Jsme tu pro Vás!&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>HonzaB</name></author>
		
	</entry>
</feed>