Booleova algebra: Porovnání verzí

 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze od stejného uživatele.)
Řádek 10: Řádek 10:
  
 
==Dualita operací==
 
==Dualita operací==
 
 
=== Algebraická dualita ===
 
=== Algebraická dualita ===
 
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,'''1''' za '''0''' a '''0''' za '''1'''. Je-li tedy <math>\langle\mathbb{B}, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -\rangle</math> Booleova algebra, pak je Booleova algebra i <math>\langle\mathbb{B}, \vee, \wedge, \textbf{0}, \textbf{1}, -\rangle</math>. Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
 
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,'''1''' za '''0''' a '''0''' za '''1'''. Je-li tedy <math>\langle\mathbb{B}, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -\rangle</math> Booleova algebra, pak je Booleova algebra i <math>\langle\mathbb{B}, \vee, \wedge, \textbf{0}, \textbf{1}, -\rangle</math>. Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
 
 
 
=== Stoneova dualita ===
 
=== Stoneova dualita ===
Stoneova dualita, pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
+
[[Stoneova dualita|Stoneova dualita]], pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
  
 
== Formule a zákony platné v Booleově algebře==
 
== Formule a zákony platné v Booleově algebře==
Řádek 44: Řádek 41:
  
 
==Podalgebra==
 
==Podalgebra==
 +
Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry <math>\mathbb{B}</math> (operace podalgebry <math>\mathbb{C}</math> jsou zúžením operací algebry <math>\mathbb{B}</math> na množinu C) nazýváme '''podalgebrou Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math>'''.
 
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje '''0''' a '''1''', samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
 
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje '''0''' a '''1''', samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
  
==Mohutnost Booleovy algebry==
+
== Mohutnost Booleovy algebry ==
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>.
+
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>. Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.
  
 
==Zdroje==
 
==Zdroje==
 
* BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.
 
* BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.
 +
 +
[[Kategorie:Struktury a algebry]]

Aktuální verze z 10. 12. 2014, 17:15

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)} , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
komutativita
distributivita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
komplementarita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1}
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy Booleova algebra, pak je Booleova algebra i . Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle --a = a}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -a = -b \rightarrow a = b}

Zákon idempotence


Zákon pohlcení


Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vee (a \wedge b) = a}

Zákony de Morganovy

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -(a \wedge b) = -a \vee -b}


Monotonie

Jestliže a , pak v každé Booleově algebře platí:




Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou isomorfní (značíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} \cong \mathbb{C}} ) právě tehdy, když Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{B}, \leq)} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{C}, \leq)} jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} (operace podalgebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou zúžením operací algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} . Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} . Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.