Booleova algebra

Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, 1, 0, -)} , kde B je neprázdný nosič, Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee} jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, - je unární operátor na B a platí axiomy:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_1} asociativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_2} komutativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_3} distributivita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_4} komplementarita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_5} absorpce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_6} nedegenerovanost Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \neq 1}
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje axiom Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_4} .

Formule a zákony platné v BA

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a - b \equiv a \wedge -b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a} (symetrický rozdíl)

Dualita operací

Máme-li formuli Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} v jazyce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\wedge, \vee, 1, 0, -)} , pak její dualitu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)} vytvoříme tak, že nahradíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} ,1 za 0 a 0 za 1.
Formule Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)} .