Booleova algebra: Porovnání verzí
(Založena nová stránka s textem „Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika George Boolea, je '''struktura''' <math>\mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, 1, 0, -)<…“) |
|||
| Řádek 3: | Řádek 3: | ||
==Formule a zákony platné v BA== | ==Formule a zákony platné v BA== | ||
| − | |||
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br /> | <math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br /> | ||
| − | <math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br /><math>a \vartriangle \equiv a - b \vee b - a</math> (symetrický rozdíl) | + | <math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br /> |
| + | <math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math> (symetrický rozdíl) | ||
==Dualita operací== | ==Dualita operací== | ||
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, 1, 0, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,1 za 0 a 0 za 1.<br /> | Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, 1, 0, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,1 za 0 a 0 za 1.<br /> | ||
Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. | Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. | ||
Verze z 25. 9. 2014, 22:52
Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde B je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, - je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje axiom Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_4}
.
Formule a zákony platné v BA
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b}
(symetrický rozdíl)
Dualita operací
Máme-li formuli Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi}
v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1.
Formule Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi}
platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)}
.