Booleova algebra

Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura $\mathbb {B} =(B,\wedge ,\vee ,1,0,-)$, kde B je neprázdný nosič, $\wedge ,\vee$ jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, - je unární operátor na B a platí axiomy:
$B_{1}$ asociativita $\wedge ,\vee$
$B_{2}$ komutativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
$B_{3}$ distributivita $\wedge ,\vee$
$B_{4}$ komplementarita $a\wedge -a=0,a\vee -a=1$
$B_{5}$ absorpce $a\vee (a\wedge b)=a,a\wedge (a\vee b)=a$
$B_{6}$ nedegenerovanost $0\neq 1$
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje axiom Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_4} .

Formule a zákony platné v BA

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b}
$a-b\equiv a\wedge -b$
$a\vartriangle b\equiv a-b\vee b-a$ (symetrický rozdíl)

Dualita operací

Máme-li formuli Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} v jazyce $(\wedge ,\vee ,1,0,-)$, pak její dualitu $d(\varphi )$ vytvoříme tak, že nahradíme $\wedge$ za $\vee$, $\vee$ za $\wedge$,1 za 0 a 0 za 1.
Formule Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)} .