Booleova algebra: Porovnání verzí
| Řádek 21: | Řádek 21: | ||
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br /> | <math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br /> | ||
'''Monotonie''':<br /> | '''Monotonie''':<br /> | ||
| − | Jestliže a_1 < a_2 a b_1 < b_2, pak v každé Booleově algebře platí:<br /> | + | Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br /> |
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br /> | <math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br /> | ||
<math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2</math><br /> | <math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2</math><br /> | ||
| − | <math>-a_2 \leq -a_1</math> | + | <math>-a_2 \leq -a_1</math><br/><br/> |
| + | |||
| + | Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání. | ||
==Mohutnost Booleovy algebry== | ==Mohutnost Booleovy algebry== | ||
| − | Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. | + | Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>. |
==Zdroje== | ==Zdroje== | ||
| − | BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986. | + | * BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986. |
Verze z 27. 9. 2014, 16:13
Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_2}
komutativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_3}
distributivita
komplementarita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1}
absorpce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a}
nedegenerovanost
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge -a = 0 \wedge a \vee -a = 1}
. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.
Obsah
Dualita operací
Máme-li formuli Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} v jazyce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)} , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} , za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} ,1 za 0 a 0 za 1. Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
Formule a zákony platné v Booleově algebře
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a - b \equiv a \wedge -b}
(symetrický rozdíl)
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle --a = a}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -a = -b \rightarrow a = b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a}
Zákony de Morganovy:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -(a \vee b) = -a \wedge -b}
Monotonie:
Jestliže Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 < a_2}
a , pak v každé Booleově algebře platí:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -a_2 \leq -a_1}
Dvě Booleovy algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou isomorfní právě tehdy, když Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{B}, \leq)} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{C}, \leq)} jsou isomorfní jako uspořádání.
Mohutnost Booleovy algebry
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} .
Zdroje
- BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.