Booleova algebra: Porovnání verzí

Řádek 18: Řádek 18:
 
Stoneova dualita, pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
 
Stoneova dualita, pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
  
==Formule a zákony platné v Booleově algebře==
+
== Formule a zákony platné v Booleově algebře==
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
Řádek 25: Řádek 25:
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
  
===Zákon idempotence===<math>a \wedge a = a</math><br/><math>a \vee a = a</math>===Zákon pohlcení===<math>a \wedge (a \vee b) = a</math><br/><math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
+
=== Zákon idempotence===
 +
<math>a \wedge a = a</math><br/><math>a \vee a = a</math>===Zákon pohlcení===<math>a \wedge (a \vee b) = a</math><br/><math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
  
===Zákony de Morganovy===
+
=== Zákony de Morganovy===
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
  
===Monotonie===
+
=== Monotonie===
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />

Verze z 9. 11. 2014, 23:07

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)} , kde Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -} je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge, \vee}
komutativita
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_3} distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge -a = 0 \wedge a \vee -a = 1} . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli v jazyce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)} , pak její dualitu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)} vytvoříme tak, že nahradíme za Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} za ,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle\mathbb{B}, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -\rangle} Booleova algebra, pak je Booleova algebra i Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle\mathbb{B}, \vee, \wedge, \textbf{0}, \textbf{1}, -\rangle} . Formule Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\varphi)} . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.


Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a - b \equiv a \wedge -b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a} (symetrický rozdíl)

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -a = -b \rightarrow a = b}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a}

Zákon idempotence


===Zákon pohlcení===Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \wedge (a \vee b) = a}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \vee (a \wedge b) = a}

Zákony de Morganovy


Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -(a \vee b) = -a \wedge -b}

Monotonie

Jestliže Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 < a_2} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_1 < b_2} , pak v každé Booleově algebře platí:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2}
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -a_2 \leq -a_1}

Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} jsou isomorfní (značíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B} \cong \mathbb{C}} ) právě tehdy, když Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{B}, \leq)} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{C}, \leq)} jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti .

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.