Definice syntaxe a sémantiky Predikátové logiky

Predikátová logika nebo-li predikátová logika prvního řádu

Výroková logika se zabývala pravdivostí jednoduchých tvrzení, která byla spojena logickými operátory (spojkami). Predikátová logika toto trochu rozšiřuje, neboť zkoumá vlastnosti a vztahy prvků daných množin. Pomůže lepšímu a přesnějšímu vyjádření vztahu. Jinými slovy si všímá i struktury vět samotných.

Predikátová logika je složena ze dvou klíčových částí syntax a sémantika. Syntax určuje, jaké kolekce (posloupnosti) symbolů jsou legální výrazy predikátové logiky a sémantika hovoří o významu za těmito výrazy.

Syntax výrokové logiky

Základem každého jazyka je množina symbolů, kterými tento jazyk disponuje, neboli jeho abeceda.Stejně jako ve výrokové logice musí jazyk predikátové logiky obsahovat symboly označující proměnné. Syntax nebo-li jazyk predikátové logiky se skládá z predikátů, proměnných, konstant, relačních a funkčních symbolů, , kvantifikátorů, termů, atomických formulí a predikátových formulí.

Abeceda je složena z:

1. logických symbolů

a) početné množiny individuálních proměnných: x,y,...,x1,x2,...

b) výrokových logických spojek: ¬,∧,∨,⇒,⇔

c) obecného kvantifikátoru (každý) ∀ a existenčního kvantifikátoru (některý) ∃

2. speciálních symbolů

a) množiny P predikátových symbolů (nesmí být prázdná)

b) množiny K konstantních symbolů (může být prázdná)

c) množiny F funkčních symbolů (může být prázdná)

3. pomocných symbolů jako jsou závorky „(, [ ,) ,]􏰀" a čárka ","

Pro každý symbol máme dáno přirozené číslo "n" větší nebo rovno 1. Toto číslo nám udává, kolika objektů se daný predikát týká, pro kolik proměnných je funkční symbol dán. Tomuto číslu říkáme četnost nebo též arita predikátového symbolu (stručně predikát)nebo funkčního symbolu.

Predikáty arity 1 jsou zvány monadické predikáty, predikáty arity 2 jsou binární predikátypredikáty arity n jsou n-ární (polyadické) predikáty.

FORMULE 1, je-li výraz A formule, pak (¬)A je formule.

2, jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) jsou formule.

3, je-li x proměnná a A formule, pak výrazy ∀xA a ∃xA jsou formule

4, nic jiného není formule

Atomické formule je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,...,tn termy, pak výraz P(t1,...,tn) je atomická formule.

Každá atomická formule je formule.

TERMY

Základní stavební prvky formulí. Intuitivně představují objekty, individua.

1. každý symbol proměnné x, y, ... je term.
2. jsou-li t1,...,tn (n  0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz f(t1,...,tn) je term; pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, ...).
3. jen výrazy dle 1. a 2. jsou termy

Příklady převedení z přirozeného jazyka:

1. Někdo má hudební sluch (S) a někdo nemá hudební sluch. (∃x S(x)) ∧ (∃x ¬S(x))
2. Některé děti (D) nerady čokoládu (C). ∃x (D(x) ∧ ¬C(x))