Booleova algebra: Porovnání verzí

 
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádek 10: Řádek 10:
  
 
==Dualita operací==
 
==Dualita operací==
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,'''1''' za '''0''' a '''0''' za '''1'''. Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
+
=== Algebraická dualita ===
 +
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,'''1''' za '''0''' a '''0''' za '''1'''. Je-li tedy <math>\langle\mathbb{B}, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -\rangle</math> Booleova algebra, pak je Booleova algebra i <math>\langle\mathbb{B}, \vee, \wedge, \textbf{0}, \textbf{1}, -\rangle</math>. Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
 +
=== Stoneova dualita ===
 +
[[Stoneova dualita|Stoneova dualita]], pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
  
==Formule a zákony platné v Booleově algebře==
+
== Formule a zákony platné v Booleově algebře==
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
Řádek 19: Řádek 22:
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
  
===Zákony de Morganovy===
+
=== Zákon idempotence===
 +
<math>a \wedge a = a</math><br/><math>a \vee a = a</math>
 +
 
 +
===Zákon pohlcení===
 +
<math>a \wedge (a \vee b) = a</math><br/><math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
 +
 
 +
=== Zákony de Morganovy===
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
  
===Monotonie===
+
=== Monotonie===
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
Řádek 29: Řádek 38:
  
 
===Isomorfismus BA===
 
===Isomorfismus BA===
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
+
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' (značíme <math>\mathbb{B} \cong \mathbb{C}</math>) právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
 +
 
 +
==Podalgebra==
 +
Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry <math>\mathbb{B}</math> (operace podalgebry <math>\mathbb{C}</math> jsou zúžením operací algebry <math>\mathbb{B}</math> na množinu C) nazýváme '''podalgebrou Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math>'''.
 +
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje '''0''' a '''1''', samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
  
==Mohutnost Booleovy algebry==
+
== Mohutnost Booleovy algebry ==
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>.
+
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>. Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.
  
 
==Zdroje==
 
==Zdroje==
 
* BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.
 
* BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.
 +
 +
[[Kategorie:Struktury a algebry]]

Aktuální verze z 10. 12. 2014, 16:15

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy Booleova algebra, pak je Booleova algebra i . Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)



Zákon idempotence


Zákon pohlcení


Zákony de Morganovy




Monotonie

Jestliže a , pak v každé Booleově algebře platí:




Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry a jsou isomorfní (značíme ) právě tehdy, když a jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry (operace podalgebry jsou zúžením operací algebry na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry . Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti . Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.