Booleova algebra: Porovnání verzí

 
(Není zobrazeno 11 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádek 1: Řádek 1:
Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika [[George Boole|George Boolea]], je '''struktura''' <math>\mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, 1, 0, -)</math>, kde B je neprázdný nosič, <math>\wedge, \vee</math> jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, - je unární operátor na B a platí axiomy:<br />
+
Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika [[George Boole|George Boolea]], je '''struktura''' <math>\mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, kde <math>B</math> je neprázdný nosič, <math>\wedge, \vee</math> jsou binární operátory, '''0''' je nejmenší a '''1''' největší prvek, <math>-</math> je unární operátor na B a platí axiomy:<br />
<math>B_1</math> '''asociativita''' <math>\wedge, \vee</math><br /><math>B_2</math> '''komutativita''' <math>\wedge, \vee</math><br /><math>B_3</math> '''distributivita''' <math>\wedge, \vee</math><br /><math>B_4</math> '''komplementarita''' <math>a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1</math><br /><math>B_5</math> '''absorpce''' <math>a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a</math><br /><math>B_6</math> '''nedegenerovanost''' <math>0 \neq 1</math><br />Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální [[Svaz|svaz]] tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.<br />Booleova algebra je '''distributivní komplementární svaz''', tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje axiom <math>B_4</math>.<br />
+
<math>B_1</math> '''asociativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 +
<math>B_2</math> '''komutativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 +
<math>B_3</math> '''distributivita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 +
<math>B_4</math> '''komplementarita''' <math>a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1</math><br /><math>B_5</math> '''absorpce''' <math>a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a</math><br />
 +
<math>B_6</math> '''nedegenerovanost''' <math>\textbf{0} \neq \textbf{1}</math><br /><br />
  
==Formule a zákony platné v BA==
+
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální [[Svaz|svaz]] tvořený jednoprvkovou množinou ('''0''' = '''1''') není BA.<br /><br />
 +
Booleova algebra je '''distributivní komplementární svaz''', tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje <math>a \wedge -a = 0 \wedge a \vee -a = 1</math>. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci <math>-</math> pro doplněk, označujeme jako '''booleovská operace'''.
  
 +
==Dualita operací==
 +
=== Algebraická dualita ===
 +
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,'''1''' za '''0''' a '''0''' za '''1'''. Je-li tedy <math>\langle\mathbb{B}, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -\rangle</math> Booleova algebra, pak je Booleova algebra i <math>\langle\mathbb{B}, \vee, \wedge, \textbf{0}, \textbf{1}, -\rangle</math>. Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
 +
=== Stoneova dualita ===
 +
[[Stoneova dualita|Stoneova dualita]], pojmenovaná po [[Marshall Stone|Marshallu Stoneovi]] dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé [[Topologický prostor|topologické prostory]].
 +
 +
== Formule a zákony platné v Booleově algebře==
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a \leq b \equiv a \wedge b = a \equiv a \vee b = b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math> (symetrický rozdíl)
+
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math>     (symetrický rozdíl)<br />
 +
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
 +
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
 +
 
 +
=== Zákon idempotence===
 +
<math>a \wedge a = a</math><br/><math>a \vee a = a</math>
 +
 
 +
===Zákon pohlcení===
 +
<math>a \wedge (a \vee b) = a</math><br/><math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
  
==Dualita operací==
+
=== Zákony de Morganovy===
Máme-li formuli <math>\varphi</math> v jazyce <math>(\wedge, \vee, 1, 0, -)</math>, pak její '''dualitu''' <math>d(\varphi)</math> vytvoříme tak, že nahradíme <math>\wedge</math> za <math>\vee</math>, <math>\vee</math> za <math>\wedge</math>,1 za 0 a 0 za 1.<br />
+
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
Formule <math>\varphi</math> platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita <math>d(\varphi)</math>.
+
 
 +
=== Monotonie===
 +
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 +
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
 +
<math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2</math><br />
 +
<math>-a_2 \leq -a_1</math><br/><br/>
 +
 
 +
===Isomorfismus BA===
 +
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' (značíme <math>\mathbb{B} \cong \mathbb{C}</math>) právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
 +
 
 +
==Podalgebra==
 +
Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry <math>\mathbb{B}</math> (operace podalgebry <math>\mathbb{C}</math> jsou zúžením operací algebry <math>\mathbb{B}</math> na množinu C) nazýváme '''podalgebrou Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math>'''.
 +
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje '''0''' a '''1''', samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
 +
 
 +
== Mohutnost Booleovy algebry ==
 +
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li <math>\kappa</math> nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti <math>\kappa</math>. Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.
 +
 
 +
==Zdroje==
 +
* BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.
 +
 
 +
[[Kategorie:Struktury a algebry]]

Aktuální verze z 10. 12. 2014, 16:15

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy Booleova algebra, pak je Booleova algebra i . Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)



Zákon idempotence


Zákon pohlcení


Zákony de Morganovy




Monotonie

Jestliže a , pak v každé Booleově algebře platí:




Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry a jsou isomorfní (značíme ) právě tehdy, když a jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry (operace podalgebry jsou zúžením operací algebry na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry . Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti . Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.