Booleova algebra: Porovnání verzí

Řádek 1: Řádek 1:
Booleova algebra (BA), nazvaná podle irského matematika [[George Boole|George Boolea]], je '''struktura''' <math>\mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, kde <math>B</math> je neprázdný nosič, <math>\wedge, \vee</math> jsou binární operátory, '''0''' je nejmenší a '''1''' největší prvek, <math>-</math> je unární operátor na B a platí axiomy:<br />
+
Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika [[George Boole|George Boolea]], je '''struktura''' <math>\mathbb{B} = (B, \wedge, \vee, \textbf{1}, \textbf{0}, -)</math>, kde <math>B</math> je neprázdný nosič, <math>\wedge, \vee</math> jsou binární operátory, '''0''' je nejmenší a '''1''' největší prvek, <math>-</math> je unární operátor na B a platí axiomy:<br />
 
<math>B_1</math> '''asociativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 
<math>B_1</math> '''asociativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 
<math>B_2</math> '''komutativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
 
<math>B_2</math> '''komutativita''' <math>\wedge, \vee</math><br />
Řádek 5: Řádek 5:
 
<math>B_4</math> '''komplementarita''' <math>a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1</math><br /><math>B_5</math> '''absorpce''' <math>a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a</math><br />
 
<math>B_4</math> '''komplementarita''' <math>a \wedge -a = 0, a \vee -a = 1</math><br /><math>B_5</math> '''absorpce''' <math>a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a</math><br />
 
<math>B_6</math> '''nedegenerovanost''' <math>\textbf{0} \neq \textbf{1}</math><br /><br />
 
<math>B_6</math> '''nedegenerovanost''' <math>\textbf{0} \neq \textbf{1}</math><br /><br />
 +
 
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální [[Svaz|svaz]] tvořený jednoprvkovou množinou ('''0''' = '''1''') není BA.<br /><br />
 
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální [[Svaz|svaz]] tvořený jednoprvkovou množinou ('''0''' = '''1''') není BA.<br /><br />
 
Booleova algebra je '''distributivní komplementární svaz''', tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje <math>a \wedge -a = 0 \wedge a \vee -a = 1</math>. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci <math>-</math> pro doplněk, označujeme jako '''booleovská operace'''.
 
Booleova algebra je '''distributivní komplementární svaz''', tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje <math>a \wedge -a = 0 \wedge a \vee -a = 1</math>. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci <math>-</math> pro doplněk, označujeme jako '''booleovská operace'''.
Řádek 15: Řádek 16:
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
 
<math>a - b \equiv a \wedge -b</math><br />
 
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math>    (symetrický rozdíl)<br />
 
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math>    (symetrický rozdíl)<br />
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />de Morganovy zákony:<br /><math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br />
+
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
Monotonie:<br />
+
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br /><br />
Jestliže a_1 < a_2 a b_1 < b_2, pak v každé Booleově algebře platí:<br /><math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br /><math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2</math><br /><math>-a_2 \leq -a_1</math>
+
'''Zákony de Morganovy''':<br />
 +
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
 +
'''Monotonie''':<br />
 +
Jestliže a_1 < a_2 a b_1 < b_2, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 +
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
 +
<math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2</math><br />
 +
<math>-a_2 \leq -a_1</math>
  
 
==Mohutnost Booleovy algebry==
 
==Mohutnost Booleovy algebry==

Verze z 27. 9. 2014, 16:57

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)




Zákony de Morganovy:



Monotonie:
Jestliže a_1 < a_2 a b_1 < b_2, pak v každé Booleově algebře platí:


Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny.

Zdroje

BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.