Booleova algebra: Porovnání verzí

Řádek 17: Řádek 17:
 
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math>    (symetrický rozdíl)<br />
 
<math>a \vartriangle b \equiv a - b \vee b - a</math>    (symetrický rozdíl)<br />
 
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
 
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br /><br />
+
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
'''Zákony de Morganovy''':<br />
+
 
 +
===Zákony de Morganovy===
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
 
<math>-(a \wedge b) = -a \vee -b</math><br /><math>-(a \vee b) = -a \wedge -b</math><br /><br />
'''Monotonie''':<br />
+
 
 +
===Monotonie===
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
Jestliže <math>a_1 < a_2</math> a <math>b_1 < b_2</math>, pak v každé Booleově algebře platí:<br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
 
<math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math><br />
Řádek 26: Řádek 28:
 
<math>-a_2 \leq -a_1</math><br/><br/>
 
<math>-a_2 \leq -a_1</math><br/><br/>
  
 +
===Isomorfismus BA===
 
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
 
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
  

Verze z 27. 9. 2014, 16:15

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)



Zákony de Morganovy




Monotonie

Jestliže a , pak v každé Booleově algebře platí:




Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry a jsou isomorfní právě tehdy, když a jsou isomorfní jako uspořádání.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti .

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.