Booleova algebra: Porovnání verzí

Řádek 18: Řádek 18:
 
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
 
<math>--a = a</math><br /><math>-a = -b \rightarrow a = b</math><br />
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
 
<math>a \leq b \leftrightarrow -b \leq -a</math><br />
 +
 +
===Zákon idempotence===<math>a \wedge a = a</math><br/><math>a \vee a = a</math>===Zákon pohlcení===<math>a \wedge (a \vee b) = a</math><br/><math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
  
 
===Zákony de Morganovy===
 
===Zákony de Morganovy===
Řádek 29: Řádek 31:
  
 
===Isomorfismus BA===
 
===Isomorfismus BA===
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
+
Dvě Booleovy algebry <math>\mathbb{B}</math> a <math>\mathbb{C}</math> jsou '''isomorfní''' (značíme <math>\mathbb{B} \cong \mathbb{C}</math>) právě tehdy, když <math>(\mathbb{B}, \leq)</math> a <math>(\mathbb{C}, \leq)</math> jsou isomorfní jako uspořádání.
 +
 
 +
==Podalgebra==
 +
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje '''0''' a '''1''', samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
  
 
==Mohutnost Booleovy algebry==
 
==Mohutnost Booleovy algebry==

Verze z 27. 9. 2014, 17:50

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura , kde je neprázdný nosič, jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita
komutativita
distributivita
komplementarita
absorpce
nedegenerovanost

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje . Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Máme-li formuli v jazyce , pak její dualitu vytvoříme tak, že nahradíme za , za ,1 za 0 a 0 za 1. Formule platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita . Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Formule a zákony platné v Booleově algebře



(symetrický rozdíl)



===Zákon idempotence===
===Zákon pohlcení===

Zákony de Morganovy




Monotonie

Jestliže a , pak v každé Booleově algebře platí:




Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry a jsou isomorfní (značíme ) právě tehdy, když a jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti .

Zdroje

  • BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.