Hilbertovský kalkul: Porovnání verzí

Řádek 3: Řádek 3:
 
== Hilbertovský výrokový kalkulus ==
 
== Hilbertovský výrokový kalkulus ==
  
=== Výrokové axiomy ===
+
=== Výrokové axiomy <ref name="Svejdar ">ŠVEJDAR Vítězslav. Logika: neúplnost, složitost a nutnost. Academia, Praha, 2002. ISBN 80-200-1005-X.</ref> ===
<math>A_1:  \varphi \implies (\psi \implies \varphi)</math><br />
+
<math> A_1:  \varphi \implies (\psi \implies \varphi)</math><br />
<math>A_2:  (\varphi \implies (\psi \implies \chi)) \implies ((\varphi \implies \psi) \implies (\varphi \implies \chi))</math><br />
+
<math> A_2:  (\varphi \implies (\psi \implies \chi)) \implies ((\varphi \implies \psi) \implies (\varphi \implies \chi))</math><br />
<math>A_3:  (\lnot \varphi \implies \lnot \psi) \implies (\psi \implies \varphi)</math><br />
+
<math> A_3:  (\lnot \varphi \implies \lnot \psi) \implies (\psi \implies \varphi)</math><br />
<math>A_4:  (\varphi \wedge \psi) \implies \varphi  a  (\varphi \wedge \psi) \implies \psi </math><br />
+
<math> A_4:  (\varphi \wedge \psi) \implies \varphi</math> <math>(\varphi \wedge \psi) \implies \psi </math><br />
<math>A_5:  \varphi \implies (\psi \implies \varphi \wedge \psi)</math><br />
+
<math> A_5:  \varphi \implies (\psi \implies \varphi \wedge \psi)</math><br />
<math>A_6:  \varphi \implies (\varphi \vee \psi)  a  \psi \implies (\varphi \vee \psi)</math><br />
+
<math> A_6:  \varphi \implies (\varphi \vee \psi)</math> <math>\psi \implies (\varphi \vee \psi)</math><br />
<math>A_7:  (\varphi \implies \chi) \implies ((\psi \implies \chi) \implies ((\varphi \vee \psi) \implies \chi))</math><br />
+
<math> A_7:  (\varphi \implies \chi) \implies ((\psi \implies \chi) \implies ((\varphi \vee \psi) \implies \chi))</math> <br />
  
 
=== Odvozovací pravidla ===
 
=== Odvozovací pravidla ===
  
 
==== Modus ponens ====
 
==== Modus ponens ====
<math>\varphi, (\varphi \implies \psi) \vdash \psi</math>
+
<math> \varphi, (\varphi \implies \psi) \vdash \psi</math>
  
 
== Hilbertovský predikátový kalkulus ==
 
== Hilbertovský predikátový kalkulus ==
  
 
=== Predikátové axiomy ===
 
=== Predikátové axiomy ===
 
+
Hilbertovský predikátový systém užívá výrokové axiomy <math>A_1 - A_7</math> plus axiomy specifikace (v podstatě jde o axiomatická schémata, protože za uvedené formule můžeme dosadit libovolné formule), též nazývané jako '''axiomy substituce'''
 
==== Axiomy specifikace ====
 
==== Axiomy specifikace ====
Jesliže term ''t'' je [[Substituce|substituovatelný]] za ''x'' ve formuli <math> \varphi </math>, můžeme použít následující axiomy, též nazývané jako '''axiomy substituce''': <br />
+
Jesliže [[Logická formule|term]] ''t'' je [[Substituce|substituovatelný]] za ''x'' ve [[Logická formule|formuli]] <math> \varphi </math>, můžeme použít následující axiomy: <br />
<math>B_1:  \forall x \varphi \implies \varphi x (t)</math>
+
<math> B_1:  \forall x \varphi \implies \varphi x (t)</math><br />
<math>B_2:  \varphi x (t) \implies \exists x \varphi</math>
+
<math> B_2:  \varphi x (t) \implies \exists x \varphi</math>
  
 
=== Odvozovací pravidla ===
 
=== Odvozovací pravidla ===
 
+
Stejně jako výrokové axiomy si zde vypůjčíme i odvozovací pravidlo '''modus ponens''' plus dvě pravidla generalizace.
 
==== Pravidla generalizace ====
 
==== Pravidla generalizace ====
Jestliže ''x'' není volná proměnná v <math> \psi </math>, můžeme použít následující pravidla: <br />
+
Jestliže ''x'' není [[Logická formule|volná proměnná]] v <math> \psi </math>, můžeme použít následující pravidla: <br />
<math>GEN A:  \psi \implies \varphi \vdash \psi \implies \forall x \varphi</math>
+
<math> GEN A:  \psi \implies \varphi \vdash \psi \implies \forall x \varphi</math><br />
<math>GEN B:  \varphi \implies \psi \vdash \exists x \varphi \implies \psi</math>
+
<math> GEN B:  \varphi \implies \psi \vdash \exists x \varphi \implies \psi</math>
  
 
== Důkaz v H ==
 
== Důkaz v H ==
Řádek 38: Řádek 38:
  
 
=== Zdroje ===
 
=== Zdroje ===
 
 
<references/>
 
<references/>
  
 
=== Související články ===
 
=== Související články ===
 +
[[Kalkul přirozené dedukce]] <br/>
 +
[[Gentzenovský sekventový kalkul]]

Verze z 15. 9. 2014, 13:53

Hilbertovský kalkulus (značme H) je axiomatický formální systém, pojmenovaný po významném německém matematikovi přelomu 19. a 20. století, Davidu Hilbertovi. V Hilbertovském axiomatickém systému provádíme přímé důkazy (případně důkazy z předpokladů) za použití několika axiomů a odvozovacích pravidel (Hilbertovský výrokový kalkulus užívá pouze jedno pravidlo), důkaz je teda poměrně náročnější a delší, proto se dnes častěji užívá kalkulus přirozené dedukce. [1]

Hilbertovský výrokový kalkulus

Výrokové axiomy [2]




a

a

Odvozovací pravidla

Modus ponens

Hilbertovský predikátový kalkulus

Predikátové axiomy

Hilbertovský predikátový systém užívá výrokové axiomy plus axiomy specifikace (v podstatě jde o axiomatická schémata, protože za uvedené formule můžeme dosadit libovolné formule), též nazývané jako axiomy substituce

Axiomy specifikace

Jesliže term t je substituovatelný za x ve formuli , můžeme použít následující axiomy:

Odvozovací pravidla

Stejně jako výrokové axiomy si zde vypůjčíme i odvozovací pravidlo modus ponens plus dvě pravidla generalizace.

Pravidla generalizace

Jestliže x není volná proměnná v , můžeme použít následující pravidla:

Důkaz v H

Odkazy

Zdroje

  1. VAVREČKOVÁ Šárka. Logika a logické programování. (2005).
  2. ŠVEJDAR Vítězslav. Logika: neúplnost, složitost a nutnost. Academia, Praha, 2002. ISBN 80-200-1005-X.

Související články

Kalkul přirozené dedukce
Gentzenovský sekventový kalkul