Pojem náhodné veličiny a její vlastnosti: pravděpodobnostní rozdělení, distribuční funkce: Porovnání verzí

(kategorizace)
 
(Není zobrazeno 16 mezilehlých verzí od 5 dalších uživatelů.)
Řádek 1: Řádek 1:
Náhodná veličina (používají se i různé kombinace slov náhodná, stochastická nebo náhodová a proměnná nebo veličina) je libovolná veličina, kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami teorie pravděpodobnosti nebo matematické statistiky. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.
+
===Náhodná veličina===
 +
(používají se i různé kombinace slov náhodná, stochastická nebo náhodová a proměnná nebo veličina) je libovolná veličina, kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami teorie pravděpodobnosti nebo matematické statistiky. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.
  
 +
Formální definice:
 +
*Nechť:(Ω, F, P) je pravděpodobnostní prostor; to znamená, že
 +
*je libovolná neprázdná množina (množina elementárních jevů),
 +
*je libovolný systém podmnožin , který tvoří Ω algebru, a
 +
*je pravděpodobnost, čili míra na , která je normovaná tak, že
 +
*je množina všech reálných čísel s borelovskou Ω algebrou podmnožin
 +
*Náhodnou veličinou pak nazýváme každé zobrazení přiřazující elementárnímu jevu reálné číslo, tj., pokud je měřitelné, t.j. pokud pro každou množinu B∈β platí, že (ω; ω∈Ω,X(ω)∈B)∈F.
 +
Náhodnou veličinu lze jednoduše charakterizovat jako veličinu, jejíž hodnoty závisí na náhodě.
 +
*Odborná definice náhodné veličiny zní:
 +
Uvažujme výběrový prostor Ω přiřazený k výsledkům určitého pokusu. Náhodná veličina, kterou označíme X, je funkce, která prvkům Ω výběrového prostoru Ω přiřazuje reálná čísla x, kde x=X(ω). <ref><i>Náhodná veličina: Formální definice</i>. Wikimedia Foundation, 2018. Dostupné také z: https://cs.wikipedia.org/wiki/Náhodná_veličina</ref>
  
 
==Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny==
 
==Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny==
Řádek 6: Řádek 17:
  
 
Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot x diskrétní náhodné proměnné X je roven 1. <ref> HENDL, Jan. Přehled statistických metod zpracování dat. Praha : Portál, 2004. ISBN 80-7178-820-1.str. 37–38.</ref>
 
Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot x diskrétní náhodné proměnné X je roven 1. <ref> HENDL, Jan. Přehled statistických metod zpracování dat. Praha : Portál, 2004. ISBN 80-7178-820-1.str. 37–38.</ref>
 
 
 
===Důležitá diskrétní rozdělení===
 
===Důležitá diskrétní rozdělení===
 
 
* [[Alternativní rozdělení]] (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
 
* [[Alternativní rozdělení]] (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
 
* [[Binomické rozdělení]] (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
 
* [[Binomické rozdělení]] (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
Řádek 18: Řádek 26:
 
* Hypergeometrické rozdělení
 
* Hypergeometrické rozdělení
 
* Logaritmické rozdělení
 
* Logaritmické rozdělení
 
 
 
==Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny==
 
==Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny==
 
Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci F(x). Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.
 
Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci F(x). Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.
 
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti.  
 
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti.  
 
 
===Důležitá spojitá rozdělení===
 
===Důležitá spojitá rozdělení===
 
* Rovnoměrné rozdělení
 
* Rovnoměrné rozdělení
Řádek 37: Řádek 42:
 
* Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
 
* Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
 
* χ² rozdělení (Chí kvadrát)
 
* χ² rozdělení (Chí kvadrát)
 +
 +
===Číselné charakteristiky náhodné veličiny===
 +
Náhodná veličina X je jednoznačně určena rozdělením pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní funkce nebo distribuční funkce. Tyto funkce však mohou být velmi pracné a často poměrně složité. Proto je výhodné shrnout informace o náhodné veličině do několika čísel, které ji dostatečně charakterizují. Tyto čísla nazíváme číselné charakteristiky.
 +
Dělíme je:
 +
*Podle způsobu konstrukce na charakteristiky - momentové, kvantilové a ostatní
 +
*Podle toho, které vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti charakterizují na charakteristiky - polohy, variability, šikmosti, špičatosti<ref>Morávková. Z. <i>Pravděpodobnost a statistika: Náhodná veličina</i>. Dostupné také z: http://mdg.vsb.cz/zmoravkova/NaSM/pdf/PRAV3.pdf</ref>
 +
  
 
==Odkazy==
 
==Odkazy==
 
 
===Reference===
 
===Reference===
 
 
<references/>
 
<references/>
  
===Použitá literatura===
 
 
===Zdroj===
 
  
===Externí odkazy===
+
===Související články===
 +
*[[Náhodná veličina]]
 +
*[[Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy]]
 +
*[[Pravděpodobnost]]
 +
*[[Statistika]]
  
[[Kategorie: Informační studia a knihovnictví|*]]
+
===Klíčová slova===
 +
[[Kategorie:Informační studia a knihovnictví]]
 +
Pravděpodobnost, definice, náhodná veličina, funkce, vlastnosti náhodné veličiny, číselná charakteristika

Aktuální verze z 10. 2. 2019, 10:55

Náhodná veličina

(používají se i různé kombinace slov náhodná, stochastická nebo náhodová a proměnná nebo veličina) je libovolná veličina, kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami teorie pravděpodobnosti nebo matematické statistiky. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.

Formální definice:

  • Nechť:(Ω, F, P) je pravděpodobnostní prostor; to znamená, že
  • je libovolná neprázdná množina (množina elementárních jevů),
  • je libovolný systém podmnožin , který tvoří Ω algebru, a
  • je pravděpodobnost, čili míra na , která je normovaná tak, že
  • je množina všech reálných čísel s borelovskou Ω algebrou podmnožin
  • Náhodnou veličinou pak nazýváme každé zobrazení přiřazující elementárnímu jevu reálné číslo, tj., pokud je měřitelné, t.j. pokud pro každou množinu B∈β platí, že (ω; ω∈Ω,X(ω)∈B)∈F.

Náhodnou veličinu lze jednoduše charakterizovat jako veličinu, jejíž hodnoty závisí na náhodě.

  • Odborná definice náhodné veličiny zní:

Uvažujme výběrový prostor Ω přiřazený k výsledkům určitého pokusu. Náhodná veličina, kterou označíme X, je funkce, která prvkům Ω výběrového prostoru Ω přiřazuje reálná čísla x, kde x=X(ω). [1]

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina X bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu x značíme P(X=x), P[X=x] nebo stručně P(x).

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot x diskrétní náhodné proměnné X je roven 1. [2]

Důležitá diskrétní rozdělení

  • Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
  • Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
  • Poissonovo rozdělení
  • Negativně binomické rozdělení
  • Pascalovo rozdělení (speciální případ negativně binomického rozdělení)
  • Geometrické rozdělení (speciální případ Pascalova rozdělení)
  • Hypergeometrické rozdělení
  • Logaritmické rozdělení

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci F(x). Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě. Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti.

Důležitá spojitá rozdělení

  • Rovnoměrné rozdělení
  • Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení)
  • Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení)
  • Exponenciální rozdělení
  • Cauchyho rozdělení
  • Gama rozdělení
  • Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení)
  • Logistické rozdělení
  • Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
  • Studentovo rozdělení
  • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
  • χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Číselné charakteristiky náhodné veličiny

Náhodná veličina X je jednoznačně určena rozdělením pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní funkce nebo distribuční funkce. Tyto funkce však mohou být velmi pracné a často poměrně složité. Proto je výhodné shrnout informace o náhodné veličině do několika čísel, které ji dostatečně charakterizují. Tyto čísla nazíváme číselné charakteristiky. Dělíme je:

  • Podle způsobu konstrukce na charakteristiky - momentové, kvantilové a ostatní
  • Podle toho, které vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti charakterizují na charakteristiky - polohy, variability, šikmosti, špičatosti[3]


Odkazy

Reference

  1. Náhodná veličina: Formální definice. Wikimedia Foundation, 2018. Dostupné také z: https://cs.wikipedia.org/wiki/Náhodná_veličina
  2. HENDL, Jan. Přehled statistických metod zpracování dat. Praha : Portál, 2004. ISBN 80-7178-820-1.str. 37–38.
  3. Morávková. Z. Pravděpodobnost a statistika: Náhodná veličina. Dostupné také z: http://mdg.vsb.cz/zmoravkova/NaSM/pdf/PRAV3.pdf


Související články

Klíčová slova

Pravděpodobnost, definice, náhodná veličina, funkce, vlastnosti náhodné veličiny, číselná charakteristika