Popište definici pojmu tautologie, kontradikce a uveďte, jak je možné ověřit, zda nějaký výrok je tautologie: Porovnání verzí

 
(Není zobrazeno 8 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádek 34: Řádek 34:
  
 
* '''Zákon sporu''': A ∧ ¬A je kontradikce.
 
* '''Zákon sporu''': A ∧ ¬A je kontradikce.
 +
Není možné, aby výrok i jeho negace byly pravdivé zároveň a v témže čase.
 +
'''Příklad:''' ''Mrkev má oranžovou barvu'' a zároveň ''mrkev nemá oranžovou barvu''. Nikdy nemůže být výrok pravdivý a zároveň i jeho negace.
 
* '''Zákon vyloučení 3. možnosti''': A ∨ ¬A je tautologie.
 
* '''Zákon vyloučení 3. možnosti''': A ∨ ¬A je tautologie.
 
Zákon o vyloučení třetího je logický princip, který říká, že každý výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý; neexistuje třetí možnost.
 
Zákon o vyloučení třetího je logický princip, který říká, že každý výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý; neexistuje třetí možnost.
 +
'''Příklad:''' ''Slon je zvíře.'' nebo ''slon není zvíře.'' jiná třetí možnost není 
 
* '''Zákon dvojí negace:''' A ↔ ¬¬A je tautologie.
 
* '''Zákon dvojí negace:''' A ↔ ¬¬A je tautologie.
 +
Druhá negace nuluje negaci předešlou (stejně jako v matematice). Tvrzení je tedy vždy pravdivé.
 +
'''Příklad:''' ''Lanovka je bezpečná právě tehdy, když není nebezpečná.''
  
 
=== Pravdivostní tabulky ===
 
=== Pravdivostní tabulky ===
Řádek 44: Řádek 49:
 
<br /><br />
 
<br /><br />
 
[[Soubor:Pravdivostní tabulky.png|thumb|center]]
 
[[Soubor:Pravdivostní tabulky.png|thumb|center]]
 +
<br /><br />
 +
Výrok se v tabulce logicky rozdělí na části a až po té se celá první část výroku (závorka) porovná dle znaménka (zde na obrázku je to v obou případech ekvivalence) s druhou částí (závorkou). Porovnání těchto dvou částí je výsledkem (v tabulce označeno jako "výrok").
  
 
==='''Metoda protipříkladu – ověřování tautologií (vyplývání) sporem:'''===
 
==='''Metoda protipříkladu – ověřování tautologií (vyplývání) sporem:'''===

Aktuální verze z 11. 9. 2020, 23:24

Výroková logika

Základem výrokové logiky je pochopitelně výrok. Výrokem je každá oznamovací věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu.[1] Výrokem tedy nemohou být věty rozkazovací nebo otázky.

Výroky

Výroky mají 3 možné závěry:

  • 1. Tautologie - věta, která nabývá hodnoty „pravda“ při každé interpretaci. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 1. I(v)=1

Příklad: „Buď bude zítra pršet, nebo zítra pršet nebude“

  • 2. Kontradikce - věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. I(v)=0

Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhý a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá.

  • 3. Splnitelný výrok - Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt alespoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie. V pravdivostní tabulce má takový výraz alespoň jednu hodnotu 1.

Gramatická pravidla

  • Složené výroky se označují písmeny A, B
  • Dobře utvořený výraz DUV
  • Pravda = 1
  • Nepravda = 0

Logické operátory:

  • ¬ Negace (NOT) - ari = 1 (jedna arita). V případě opačných znamének (pravda je lež a naopak).
  • ∧ Konjunkce (AND) - ari = 2. Jestliže (A ∧ B)I = 0 právě když AI = 0, BI = 0. Pokud je alespoň jeden výrok 0 (0,1 / 1,0)
  • V Disjunkce (OR) - ari = 2. Jestliže (A V B)I = 1 právě když AI = 1, BI = 1. Pokud je alespoň jeden výrok 1 (1,0 / 0,1)
  • → Implikace - ari = 2. Z nepravdy plyne cokoliv. Tzn. (A → B)I = 1 jestliže AI = 1, BI = 1 nebo AI = 0, BI = 1. Případ (A → B)I = 0 POUZE pokud AI = 1, BI = 0
  • ↔ Ekvivalence - ari = 2. Jestliže (A ↔ B)I = 1 právě když A = B. Případ (A ↔ B)I = 0 pokud A ≠ B

- Jestliže A,B je prvkem DUV, potom platí ¬A nebo (A ∧ B) nebo (A V B) nebo (A → B) nebo (A ↔ B)

Mezi nejznámější „zákony“ výrokové logiky patří např.:

  • Zákon sporu: A ∧ ¬A je kontradikce.

Není možné, aby výrok i jeho negace byly pravdivé zároveň a v témže čase. Příklad: Mrkev má oranžovou barvu a zároveň mrkev nemá oranžovou barvu. Nikdy nemůže být výrok pravdivý a zároveň i jeho negace.

  • Zákon vyloučení 3. možnosti: A ∨ ¬A je tautologie.

Zákon o vyloučení třetího je logický princip, který říká, že každý výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý; neexistuje třetí možnost. Příklad: Slon je zvíře. nebo slon není zvíře. jiná třetí možnost není

  • Zákon dvojí negace: A ↔ ¬¬A je tautologie.

Druhá negace nuluje negaci předešlou (stejně jako v matematice). Tvrzení je tedy vždy pravdivé. Příklad: Lanovka je bezpečná právě tehdy, když není nebezpečná.

Pravdivostní tabulky

To, zda je výrok pravdivý nebo nepravdivý lze ověřit pomocí pravdivostních tabulek – tabulková metoda (vytvoříme si tabulku formule, a pokud je formuli v každém řádku přiřazena jednička, je to tautologie).

Chyba při vytváření náhledu:



Pravdivostní tabulky.png



Výrok se v tabulce logicky rozdělí na části a až po té se celá první část výroku (závorka) porovná dle znaménka (zde na obrázku je to v obou případech ekvivalence) s druhou částí (závorkou). Porovnání těchto dvou částí je výsledkem (v tabulce označeno jako "výrok").

Metoda protipříkladu – ověřování tautologií (vyplývání) sporem:

Tabulková metoda ověřování logického vyplývání či logických zákonů, splnitelnosti, atd. je vhodná pouze pro formule s malým počtem výrokových proměnných. Vždyť již při čtyřech proměnných má příslušná tabulka 16 řádků. Proto jsou používány jiné, efektivnější metody. Jednou z nich je metoda protipříkladu, která je zejména vhodná pro ověřování tautologií ve tvaru implikace a pro ověřování logického vyplývání.

Zdroje

Reference

Související články

Klíčová slova

logika, výroková logika, pravdivostní hodnoty, pravdivostní tabulky, logické operátory, Aristotelovská logika, formule výrokové logiky, tautologie, kontradikce, splnitelný výrok, negace, konjunkce, disjunkce, ekvivalence, implikace