Popište definici pojmu tautologie, kontradikce a uveďte, jak je možné ověřit, zda nějaký výrok je tautologie: Porovnání verzí

Řádek 2: Řádek 2:
 
Zabývá se '''výroky'''. Jde o tvrzení, která jsou pravdivá nebo nepravdivá a je třeba o tom rozhodnout.  
 
Zabývá se '''výroky'''. Jde o tvrzení, která jsou pravdivá nebo nepravdivá a je třeba o tom rozhodnout.  
  
*'''Tautologie''' - ''věta, která nabývá hodnoty „pravda“ při každé interpretaci''. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Tzn. pro každou interpretaci je vždy hodnota 1. '''I<sub>(v)</sub>=1'''
+
*'''Tautologie''' - ''věta, která nabývá hodnoty „pravda“ při každé interpretaci''. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 1. '''I<sub>(v)</sub>=1'''
  
 
'''Příklad:''' ''„Buď bude zítra pršet, nebo zítra pršet nebude“''
 
'''Příklad:''' ''„Buď bude zítra pršet, nebo zítra pršet nebude“''
  
*'''Kontradikce''' - ''je věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci'' (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Opakem tautologie je kontradikce, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá.
+
*'''Kontradikce''' - ''věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci'' (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. '''I<sub>(v)</sub>=0'''
  
 
Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhy a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá. '''Formule, které nejsou kontradikce, říkáme splnitelné formule'''. Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt aspoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.
 
Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhy a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá. '''Formule, které nejsou kontradikce, říkáme splnitelné formule'''. Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt aspoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.

Verze z 26. 7. 2020, 09:59

Výroková logika

Zabývá se výroky. Jde o tvrzení, která jsou pravdivá nebo nepravdivá a je třeba o tom rozhodnout.

  • Tautologie - věta, která nabývá hodnoty „pravda“ při každé interpretaci. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 1. I(v)=1

Příklad: „Buď bude zítra pršet, nebo zítra pršet nebude“

  • Kontradikce - věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. I(v)=0

Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhy a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá. Formule, které nejsou kontradikce, říkáme splnitelné formule. Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt aspoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.

Mezi nejznámější „zákony“ výrokové logiky patří např.:

  • Zákon sporu: A ∧ ¬A je kontradikce.
  • Zákon vyloučení 3. možnosti: A ∨ ¬A je tautologie.
  • Zákon dvojí negace: A ↔ ¬¬A je tautologie.

To, zda je výrok pravdivý nebo nepravdivý lze ověřit pomocí pravdivostních tabulek – tabulková metoda (vytvoříme si tabulku formule, a pokud je formuli v každém řádku přiřazena jednička, je to tautologie).

Logika-001.jpg



Metoda protipříkladu – ověřování tautologií (vyplývání) sporem:

Tabulková metoda ověřování logického vyplývání či logických zákonů, splnitelnosti, atd. je vhodná pouze pro formule s malým počtem výrokových proměnných. Vždyť již při čtyřech proměnných má příslušná tabulka 16 řádků. Proto jsou používány jiné, efektivnější metody. Jednou z nich je metoda protipříkladu, která je zejména vhodná pro ověřování tautologií ve tvaru implikace a pro ověřování logického vyplývání.

Zdroje

Reference


Související články

Klíčová slova