Filtr: Porovnání verzí
(Založena nová stránka s textem „Množina <math>F \subseteq \mathcal{P}(X)</math> je filtr, pokud platí: # <math>\emptyset \notin F, X \in F</math> # <math>A, B \in F \rightarrow A \wedge…“) |
|||
| Řádek 13: | Řádek 13: | ||
# A je '''maximální filtr''', pokud <math>\forall C \supset A</math>, <math>C</math> není filtr | # A je '''maximální filtr''', pokud <math>\forall C \supset A</math>, <math>C</math> není filtr | ||
Výše uvedené tři podmínky jsou ekvivalentní.<br /> | Výše uvedené tři podmínky jsou ekvivalentní.<br /> | ||
| − | Důkaz: | + | Důkaz:<ref name="Honzík">Honzík Radek. Boolean algebras (Lecture notes). (2012).</ref> |
:# Je-li U ultrafiltr, pak je prvofiltr. | :# Je-li U ultrafiltr, pak je prvofiltr. | ||
:# Je-li U prvofiltr, pak je maximální. | :# Je-li U prvofiltr, pak je maximální. | ||
| Řádek 19: | Řádek 19: | ||
Je-li <math>A \subseteq \mathbb{B}^{+}</math> filtr, pak <math>\exists U \supseteq F</math>, <math>U</math> je ultrafiltr. | Je-li <math>A \subseteq \mathbb{B}^{+}</math> filtr, pak <math>\exists U \supseteq F</math>, <math>U</math> je ultrafiltr. | ||
| + | |||
| + | == Zdroje == | ||
| + | <references/>Poznámky z přednášek Booleovy algebry na [http://logika.ff.cuni.cz/ Katedře Logiky].[[Kategorie:Struktury a algebry]] | ||
Verze z 13. 11. 2014, 18:01
Množina Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \subseteq \mathcal{P}(X)} je filtr, pokud platí:
- Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \emptyset \notin F, X \in F}
- Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A, B \in F \rightarrow A \wedge B \in F}
- Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq B, A \in F \rightarrow B \in F}
Duál k filtru je ideál: Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{*} = \{X\smallsetminus A: A \in F\}}
- Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_{n}$ je '''triviální filtr''', pokud $F_{n} = \{X \subseteq \mathbb{N}: n \in F_{n}\}}
Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq \mathbb{B}^{+}} , pak platí:
- A je ultrafiltr, pokud Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\forall a \in B)(a \in A \vee -a \in A)}
- A je prvofiltr (primefilter), pokud Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a \vee b \in A \rightarrow (a \in A \vee b \in A)}
- A je maximální filtr, pokud Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall C \supset A} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} není filtr
Výše uvedené tři podmínky jsou ekvivalentní.
Důkaz:[1]
- Je-li U ultrafiltr, pak je prvofiltr.
- Je-li U prvofiltr, pak je maximální.
- Je-li U maximální, pak je ultra.
Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq \mathbb{B}^{+}} filtr, pak Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists U \supseteq F} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} je ultrafiltr.
Zdroje
- ↑ Honzík Radek. Boolean algebras (Lecture notes). (2012).
Poznámky z přednášek Booleovy algebry na Katedře Logiky.