Lindenbaum-Tarského algebry
Lindenbaum - Tarského algebra je speciální Booleova algebra na množině formulí klasické predikátové logiky.
Konstrukce
Uvažme , kde je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\subseteq {\mathit {Form_{L}}}} . Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci následovně:
Označme nyní ekvivalenční třídu pro a uvažme Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B(T)=\{[\varphi ]_{\equiv _{T}}|\varphi \in {\mathit {Form_{L}}}\}} na níž definujme operace (průsek), (sjednocení), (komplement) a prvky (maximální prvek), (minimální prvek) takto:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle [\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T} [\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T} -[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi] \textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T} \textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T} }
Potom Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {B} (T)=<B(T),\wedge ,\vee ,-,{\textbf {0}},{\textbf {1}}>} je Booleova algebra.
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B(T)} definujeme operace na kde je množina sentencí, získáme Lindenbaum-Tarského algebru pro teorii .[1]
Spočetný průsek a sjednocení
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {B} (T)} . Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny jako nekonečnou konjunkci formulí z , obdobně nekonečné sjednocení množiny jako nekonečnou disjunkci formulí z avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B(T)} .
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:
Nechť potom pro definujme
Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \bigvee M_{\varphi }=[(\exists x)(\varphi (x,x_{0},\cdots )]~a~\bigwedge M_{\varphi }=[(\forall x)(\varphi (x,x_{0},\cdots )]}
Uspořádání na B(T)
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B(T)} chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace :
Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [\varphi ]\leq [\psi ]\Leftrightarrow [\varphi ]=[\varphi ]\wedge [\psi ]}
neboť v vlastně znamená , což je ekvivalentní s Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\vdash \varphi \rightarrow \psi }
dostáváme:
Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [\varphi ]\leq [\psi ]\Leftrightarrow T\vdash \varphi \rightarrow \psi }
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na lze interpretovat jako "čím blíže je k tím silnějším je tvrzením" (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, je falsisikovaná vždy naopak není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je k tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve forcingu, kde interpretujeme jako " je silnější podmínka než ".
Definice
Nechť je teorie prvořádové predikátové logiky a Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle L} její jazyk, potom Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {LT} (T)=<LT(T),\wedge ,\vee ,-,{\textbf {0}},{\textbf {1}}>} kde a , , , , a jsou definovány jako v Konstrukci výše, nazveme Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii .
Vlastnosti
- Je-li sporná, potom a tedy a tedy i .
- Je-li bezesporná, je Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |B(T)|\geq 2} neboť Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\vdash \neg (\varphi \vee \neg \varphi \leftrightarrow \varphi \&\neg \varphi )} a proto .
- Je-li bezesporná a navíc úplná dostáváme Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |L(T)|=2} neboť z úplnosti plyne, že nebo a tedy Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\vdash \sigma \leftrightarrow \top } nebo Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\vdash \sigma \leftrightarrow \bot } z čehož plyne, že nebo a tedy Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle L(T)=\{[\varphi \vee \neg \varphi ]_{\equiv _{T}},[\varphi \&\neg \varphi ]_{\equiv _{T}}\}}
- Je-li bezesporná a neúplná potom neboť existuje sentence t.ž. Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\nvdash \sigma } a Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T\nvdash \neg \sigma } a tudíž , a proto jsou Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [\top ]_{\equiv _{T}},[\bot ]_{\equiv _{T}},[\sigma ]_{\equiv _{T}},[\neg \sigma ]_{\equiv _{T}}} čtyři navzájem různé prvky .
- Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle LT(T)} pro vhodné .[2]
Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})}
| Definice: Nechť je struktura s nosičem a , potom Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {L}}(P)} je jazyk obsahující pouze parametry z a množina formulí v jazyce Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {L}}(P)} kde má právě volných proměnných. |
Na množině můžeme opět zavést ekvivalenci jako výše v Konstrukci. Zadefinujeme-li také , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -} ,Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textbf{0}} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textbf{1}} jako v Konstrukci výše a zvolíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=Th(\mathfrak{A})} získáme Booleovu algebru, jež značíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})} .
| Definice: Nechť Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{A}} je struktura s nosičem Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\subseteq A} , řekneme, že množina Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq A^n} je Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} -definovatelná pokud existuje Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}} taková, že Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} definuje Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} . Soubor všech Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} -definovatelných množin na Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} označíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n(P,\mathfrak{A})} |
Význam: Vzhledem k tomu, že každá Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [\varphi]_{\equiv_T}}
z Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})}
definuje právě jednu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P}
-definovatelnou množinu v Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^n}
nepřekvapí nás, že platí:
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})}
kde Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})}
je algebra množin s nosičem Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n(P,\mathfrak{A})}
.[3]
Algebra Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})} slouží k definici Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -typu v Teorii modelů a důkazu Morleyovy věty.
Odkazy
Reference
Použitá literatura
- Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
- Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012
- A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997
- Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006