Lindenbaum - Tarského algebra je speciální Booleova algebra na množině formulí klasické predikátové logiky.
Konstrukce
Uvažme
, kde
je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii
. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci
následovně:
Označme nyní
ekvivalenční třídu pro
a uvažme
na níž definujme operace
(průsek),
(sjednocení),
(komplement) a prvky
(maximální prvek),
(minimální prvek) takto:
Nelze pochopit (neznámá funkce „\t“): {\displaystyle \t[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T}}
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle [\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}}
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle -[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi] \textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T} \textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T} }
Potom
je Booleova algebra.
Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo
definujeme operace na
kde
je množina sentencí, získáme Lindenbaum-Tarského algebru pro teorii
.[1]
Spočetný průsek a sjednocení
Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v
. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny
jako nekonečnou konjunkci formulí z
, obdobně nekonečné sjednocení množiny
jako nekonečnou disjunkci formulí z
avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem
.
Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:
Nechť
potom pro
definujme
Uspořádání na B(T)
Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i
chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace
:
![{\displaystyle [\varphi ]\leq [\psi ]\Leftrightarrow [\varphi ]=[\varphi ]\wedge [\psi ]}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f1c0761b30f59c7ece977c6fee5bd0868aca93)
neboť
v
vlastně znamená
, což je ekvivalentní s
dostáváme:
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na
lze interpretovat jako "čím blíže je
k
tím silnějším je tvrzením" (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace,
je falsisikovaná vždy naopak
není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je
k
tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve forcingu, kde
interpretujeme jako "
je silnější podmínka než
".
Definice
Nechť
je teorie prvořádové predikátové logiky a
její jazyk, potom
kde
a
,
,
,
,
a
jsou definovány jako v Konstrukci výše, nazveme Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii
.
Vlastnosti
- Je-li
sporná, potom
a tedy
a tedy i
.
- Je-li
bezesporná, je
neboť
a proto
.
- Je-li
bezesporná a navíc úplná dostáváme
neboť z úplnosti
plyne, že
a tedy
nebo
z čehož plyne, že
nebo
a tedy ![{\displaystyle L(T)=\{[\varphi \vee \neg \varphi ]_{\equiv _{T}},[\varphi \&\neg \varphi ]_{\equiv _{T}}\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110cbc233e68dd5e4171577a7fbaf10e80f443f5)
- Je-li
bezesporná a neúplná potom
neboť existuje sentence
t.ž.
a
a tudíž
,
a proto jsou
čtyři navzájem různé prvky
.
- Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře
pro vhodné
.[2]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd2077982c5ae84b670d85ea2d90f5d1ef384e3)
Definice: Nechť je struktura s nosičem a , potom je jazyk obsahující pouze parametry z a množina formulí v jazyce kde má právě volných proměnných.
|
Na množině
můžeme opět zavést ekvivalenci
jako výše v Konstrukci. Zadefinujeme-li také
,
,
,
,
a
jako v Konstrukci výše a zvolíme
získáme Booleovu algebru, jež značíme
.
Definice: Nechť je struktura s nosičem a , řekneme, že množina je -definovatelná pokud existuje taková, že definuje . Soubor všech -definovatelných množin na označíme
|
Význam: Vzhledem k tomu, že každá
z
definuje právě jednu
-definovatelnou množinu v
nepřekvapí nás, že platí:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})\cong \mathbb {B} _{n}(P,{\mathfrak {A}})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7837d924bce9635dc653fc89e6974f59b1c94c20)
kde
je algebra množin s nosičem
.[3]
Algebra
slouží k definici
-typu v Teorii modelů a důkazu Morleyovy věty.
Odkazy
Reference
- ↑ Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
- ↑ Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10
- ↑ A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997
Použitá literatura
- Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
- Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012
- A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997
- Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006
Související články
Booleova algebra
Forcing
Teorie modelů