Lindenbaum-Tarského algebry: Porovnání verzí

 
(Není zobrazeno 9 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.)
Řádek 9: Řádek 9:
  
 
<math>
 
<math>
\begin{align*}
 
 
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T}
 
[\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T}
\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}
+
[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}
 
-[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi]
 
-[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi]
 
\textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}
 
\textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}
 
\textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}
 
\textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}
\end{align*}
 
 
</math>
 
</math>
  
Řádek 37: Řádek 35:
  
 
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na <math>\mathbb{B}(T)</math> lze interpretovat jako ''"čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím silnějším je tvrzením"'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, <math>\textbf{0}</math> je falsisikovaná vždy naopak <math>\textbf{1}</math> není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde <math>p\leq q</math> interpretujeme jako ''"<math>p</math> je silnější podmínka než <math>q</math>"''.
 
Stojí za povšimnutí, že uspořádání na <math>\mathbb{B}(T)</math> lze interpretovat jako ''"čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím silnějším je tvrzením"'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, <math>\textbf{0}</math> je falsisikovaná vždy naopak <math>\textbf{1}</math> není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde <math>p\leq q</math> interpretujeme jako ''"<math>p</math> je silnější podmínka než <math>q</math>"''.
 +
 
== Definice ==
 
== Definice ==
 
Nechť <math>T</math> je teorie prvořádové predikátové logiky a <math>L</math> její jazyk, potom <math>\mathbb{LT}(T)=<LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}></math> kde  <math>LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}</math> a  <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>, <math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' <math>T</math>.
 
Nechť <math>T</math> je teorie prvořádové predikátové logiky a <math>L</math> její jazyk, potom <math>\mathbb{LT}(T)=<LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}></math> kde  <math>LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}</math> a  <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>, <math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jsou definovány jako v ''Konstrukci'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' <math>T</math>.
 
== Vlastnosti ==
 
== Vlastnosti ==
 
*Je-li <math>T</math> '''sporná''', potom <math>\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi</math> a tedy <math>|B(T)|=1</math> a tedy i <math>|L(T)|=1</math>.
 
*Je-li <math>T</math> '''sporná''', potom <math>\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi</math> a tedy <math>|B(T)|=1</math> a tedy i <math>|L(T)|=1</math>.
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''', je <math>|B(T)|\geq2<math> neboť <math>T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \& \neg\varphi)</math> a proto <math>[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math>.
+
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''', je <math>|B(T)|\geq2</math> neboť <math>T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \& \neg\varphi)</math> a proto <math>[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math>.
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme <math>|L(T)|=2</math> neboť z úplnosti <math>T</math> plyne, že <math>\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma</math> a tedy <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \top</math> nebo <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot</math> z čehož plyne, že <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> nebo <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> a tedy <math>L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}\}</math>
+
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme <math>|L(T)|=2</math> neboť z úplnosti <math>T</math> plyne, že <math>\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma</math> nebo <math>T \vdash \neg\sigma</math> a tedy <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \top</math> nebo <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot</math> z čehož plyne, že <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> nebo <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> a tedy <math>L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}\}</math>
 
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom <math>|L(T)|\geq 4</math> neboť existuje sentence <math>\sigma</math> t.ž. <math>T \nvdash \sigma</math> a <math>T \nvdash\neg\sigma</math> a tudíž <math>\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}</math>, <math>\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}</math> a proto jsou <math>[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}</math> čtyři navzájem různé prvky <math>L(T)</math>.
 
*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom <math>|L(T)|\geq 4</math> neboť existuje sentence <math>\sigma</math> t.ž. <math>T \nvdash \sigma</math> a <math>T \nvdash\neg\sigma</math> a tudíž <math>\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}</math>, <math>\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}</math> a proto jsou <math>[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}</math> čtyři navzájem různé prvky <math>L(T)</math>.
 
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře <math>LT(T)</math> pro vhodné <math>T</math>.<ref>Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10</ref>
 
*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře <math>LT(T)</math> pro vhodné <math>T</math>.<ref>Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10</ref>
Řádek 49: Řádek 48:
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
| '''Definice:''' Nechť <math>\mathfrak{A}</math> je struktura s nosičem <math>A</math> a <math>P\subseteq A</math>, potom <math>\mathcal{L}(P)</math> je jazyk obsahující pouze parametry z <math>P</math> a <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> množina formulí <math>\varphi</math> v jazyce <math>\mathcal{L}(P)</math> kde <math>\varphi</math> má právě <math>n</math> proměnných.
+
| '''Definice:''' Nechť <math>\mathfrak{A}</math> je struktura s nosičem <math>A</math> a <math>P\subseteq A</math>, potom <math>\mathcal{L}(P)</math> je jazyk obsahující pouze parametry z <math>P</math> a <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> množina formulí <math>\varphi</math> v jazyce <math>\mathcal{L}(P)</math> kde <math>\varphi</math> má právě <math>n</math> volných proměnných.
 
|}
 
|}
 
Na množině <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> můžeme opět zavést ekvivalenci <math>\equiv_T</math> jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>,<math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme <math>T=Th(\mathfrak{A})</math> získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math>.
 
Na množině <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> můžeme opět zavést ekvivalenci <math>\equiv_T</math> jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>,<math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme <math>T=Th(\mathfrak{A})</math> získáme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]], jež značíme <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math>.
Řádek 58: Řádek 57:
 
|}
 
|}
  
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá <math>[\varphi]_{\equiv_T}</math> z <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math> definuje právě jednu <math>P$</math>definovatelnou množinu v <math>A^n</math> nepřekvapí nás, že platí:<br/>
+
'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá <math>[\varphi]_{\equiv_T}</math> z <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math> definuje právě jednu <math>P</math>-definovatelnou množinu v <math>A^n</math> nepřekvapí nás, že platí:<br/>
 
<math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math><br/>
 
<math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math><br/>
kde <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}</math> je algebra množin s nosičem <math>B_n(P,\mathfrak{A})</math>.<ref>A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997</ref>
+
kde <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math> je [[Algebra množin|algebra množin]] s nosičem <math>B_n(P,\mathfrak{A})</math>.<ref>A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997</ref>
  
 
Algebra <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math> slouží k definici <math>n</math>-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].
 
Algebra <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math> slouží k definici <math>n</math>-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyova věta|Morleyovy věty]].
 +
 
== Odkazy ==
 
== Odkazy ==
 
=== Reference ===
 
=== Reference ===

Aktuální verze z 24. 11. 2014, 13:48

Lindenbaum - Tarského algebra je speciální Booleova algebra na množině formulí klasické predikátové logiky.

Konstrukce

Uvažme , kde je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii . Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci následovně:

Označme nyní ekvivalenční třídu pro a uvažme na níž definujme operace (průsek), (sjednocení), (komplement) a prvky (maximální prvek), (minimální prvek) takto:

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle [\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T} [\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T} -[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi] \textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T} \textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T} }

Potom je Booleova algebra.

Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo definujeme operace na kde je množina sentencí, získáme Lindenbaum-Tarského algebru pro teorii .[1]

Spočetný průsek a sjednocení

Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v . Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny jako nekonečnou konjunkci formulí z , obdobně nekonečné sjednocení množiny jako nekonečnou disjunkci formulí z avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem .

Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:

Nechť potom pro definujme

Uspořádání na B(T)

Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace :


neboť v vlastně znamená , což je ekvivalentní s dostáváme:

Stojí za povšimnutí, že uspořádání na lze interpretovat jako "čím blíže je k tím silnějším je tvrzením" (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, je falsisikovaná vždy naopak není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je k tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve forcingu, kde interpretujeme jako " je silnější podmínka než ".

Definice

Nechť je teorie prvořádové predikátové logiky a její jazyk, potom kde a , , , , a jsou definovány jako v Konstrukci výše, nazveme Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii .

Vlastnosti

  • Je-li sporná, potom a tedy a tedy i .
  • Je-li bezesporná, je neboť a proto .
  • Je-li bezesporná a navíc úplná dostáváme neboť z úplnosti plyne, že nebo a tedy nebo z čehož plyne, že nebo a tedy
  • Je-li bezesporná a neúplná potom neboť existuje sentence t.ž. a a tudíž , a proto jsou čtyři navzájem různé prvky .
  • Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře pro vhodné .[2]

Definice: Nechť je struktura s nosičem a , potom je jazyk obsahující pouze parametry z a množina formulí v jazyce kde má právě volných proměnných.

Na množině můžeme opět zavést ekvivalenci jako výše v Konstrukci. Zadefinujeme-li také , , , , a jako v Konstrukci výše a zvolíme získáme Booleovu algebru, jež značíme .

Definice: Nechť je struktura s nosičem a , řekneme, že množina je -definovatelná pokud existuje taková, že definuje . Soubor všech -definovatelných množin na označíme

Význam: Vzhledem k tomu, že každá z definuje právě jednu -definovatelnou množinu v nepřekvapí nás, že platí:

kde je algebra množin s nosičem .[3]

Algebra slouží k definici -typu v Teorii modelů a důkazu Morleyovy věty.

Odkazy

Reference

  1. Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
  2. Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10
  3. A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997

Použitá literatura

  • Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
  • Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012
  • A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997
  • Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006

Související články

Booleova algebra
Forcing
Teorie modelů