Popište, co je to sémantika výrokové logiky

Sémantika jazyka určuje, jakým způsobem se jednotlivé prvky jazyka výrokové logiky interpretují. Jazyk má sloužit jako nástroj k analýze argumentů, jejichž správnost závisí na formě spojení mezi výrazy. Správný argument je takový, u kterého není možné, aby premisy byly pravdivé a závěr nepravdivý.

Interpretace spočívá v tom, že každému dobře utvořenému výrazu (DUV) přiřadíme hodnotu 0 nebo 1 (pravda/nepravda). Interpretace je pravidlo, podle kterého se dobře vytvořenému výrazu přiřadí pravdivostní hodnota. Formule výrokové logiky nabývají vždy pouze některé z hodnot true, false (případně „1“, „0“). Definujeme funkci I, která každé jednoduché dobře vytvořené formuli výrokové logiky přiřadí právě jednu ze dvou pravdivostních hodnot [0,1] příp. [F,T]. Funkci nazveme Pravdivostní hodnota nebo Interpretace. Můžeme to zapsat i jinak: P je množina všech atomických (elementárních) formulí. Pak funkce I: P→ [0,1], které každé atomické formuli AεP přiřadí hodnotu 0 nebo 1.

Řekneme, že funkce I splňuje formuli A (i složenou), jestliže je formule při této hodnotě pravdivá. Musí tedy platit následující tvrzení:

1. A je elementární symbol (atomická formule) a I (A)=1
2. A je ¬B a I nesplňuje B
3. A je tvaru B ∧ C a I splňuje B i C
4. A je tvaru B ∨ C a I splňuje B nebo C
5. A je tvaru B → C a I nesplňuje nebo splňuje C
6. A je tvaru B ↔ C a I splňuje B i C nebo nesplňuje B a nesplňuje C

Tato tvrzení můžeme snadněji interpretovat pomocí tabulky pravdivostních hodnot pro základní spojky výrokové logiky.

Interpretační pravidla

• Formule A se nazývá tautologií, je-li splňována každou interpretací.
• Formule A se nazývá kontradikce, jestliže není splňována žádnou interpretací.
• Formule A je splnitelná, je-li splňována aspoň jednou interpretací I, kterou pak nazýváme model formule A. (Existuje, taková hodnota I(A) která se rovná 1).
• Formule A je ekvivalentní s B (sémantická ekvivalence), když pro každou interpretaci ekvivalence platí, že se rovnají hodnoty interpretace jednotlivých elementárních výroků. (A↔B), když I(A)=I(B) v každém případě.