Míry variability

Pokud chceme charakterizovat náhodně proměnlivé údaje v určitém souboru, nestačí charakterizovat jen střední hodnotu, ale je vhodné určit i míru, v jaké jsou jednotlivé údaje od sebe navzájem rozptýlené. To vymezují míry variability, mezi které se řadí variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka a variační koeficient.

Variační rozpětí (Range)

• Variační rozpětí je definováno jako rozdíl mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou daného souboru a podává informace o tom, v jaké šířce jsou dané údaje rozprostřené na příslušné škále. Označení pro variační rozpětí je R.

$R=X_{m}ax-X_{m}in$*
^{*U diskrétních proměnných někteří autoři preferují pro výpočet R = (Xmax - Xmin) + 1.}
Nevýhodou variačního rozpětí je velká citlivost vůči extrémním hodnotám a také nereflektování způsobu, jakým jsou údaje rozložené uvnitř souboru.

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle R=5–1}
$R=4$

Rozptyl

Rozptyl je definován jako průměrná kvadratická odchylka mezi údaji souboru a jejich aritmetickým průměrem.

$s^{2}={\frac {\sum \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{n-1}}$
(obrázek rovnice)

Podle Hendla není při větších rozsazích významný rozdíl mezi číslem n nebo n – 1. Dělení číslem n se používá v případě, kdy počítáme rozptyl pro všechny prvky populace.
Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$s^{2}={\frac {\left(1-3\right)^{2}\left(2-3\right)^{2}\left(3-3\right)^{2}\left(4-3\right)^{2}\left(5-3\right)^{2}}{4}}$
$s^{2}=2,5$
(obrázek rovnice)

Interpretace rozptylu může být někdy nesrozumitelná, a proto se v praxi jako nejčastější ukazovatel míry variability používá druhá odmocnina z rozptylu označovaná jako směrodatná odchylka.

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka je průměrná vzdálenost mezi jednotlivými údaji a jejich aritmetickým průměrem. Informuje nás o tom, jak daleko jsou v průměru jednotlivé údaje rozprostřené kolem svého aritmetického průměru. Vypočítá se jako odmocnina z rozptylu a na rozdíl od rozptylu má stejný fyzikální rozměr jako původní veličina.

$s={\sqrt {s}}^{2}={\sqrt {\frac {\sum \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{n-1}}}$
(obrázek rovnice)

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$s^{2}={\sqrt {2}},5$
$s^{2}=1,58$
(obrázek rovnice)

Variační koeficient

Variační koeficient se používá v případě, kdy chceme posoudit relativní velikost rozptýlenosti dat vzhledem k průměru a někdy se uvádí v procentech. Slouží k porovnání variability souborů, které mají nestejné průměry.

$VK={\frac {S}{\bar {x}}}$
(obrázek rovnice)

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$VK={\frac {1,58}{3}}$
$VK=0,53$(53%)
(obrázek rovnice)