Míry variability

Pokud chceme charakterizovat náhodně proměnlivé údaje v určitém souboru, nestačí charakterizovat jen střední hodnotu, ale je vhodné určit i míru, v jaké jsou jednotlivé údaje od sebe navzájem rozptýlené. To vymezují míry variability, mezi které se řadí variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka a variační koeficient. [1]

Variační rozpětí (Range)

  • Variační rozpětí je definováno jako rozdíl mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou daného souboru a podává informace o tom, v jaké šířce jsou dané údaje rozprostřené na příslušné škále. Označení pro variační rozpětí je R.

$ R=X_max-X_min $*
*U diskrétních proměnných někteří autoři preferují pro výpočet R = (Xmax - Xmin) + 1.
Nevýhodou variačního rozpětí je velká citlivost vůči extrémním hodnotám a také nereflektování způsobu, jakým jsou údaje rozložené uvnitř souboru[2].

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}
$ R=5–1 $
$ R=4 $

Rozptyl

Rozptyl je definován jako průměrná kvadratická odchylka mezi údaji souboru a jejich aritmetickým průměrem[2].

$ s^2=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2} {n-1} $
(obrázek rovnice)

Podle Hendla[1] není při větších rozsazích významný rozdíl mezi číslem n nebo n – 1. Dělení číslem n se používá v případě, kdy počítáme rozptyl pro všechny prvky populace.
Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$ s^2=\frac{\left(1-3\right)^2\left(2-3\right)^2\left(3-3\right)^2\left(4-3\right)^2\left(5-3\right)^2} {4} $
$ s^2=2,5 $

(obrázek rovnice)

Interpretace rozptylu může být někdy nesrozumitelná, a proto se v praxi jako nejčastější ukazovatel míry variability používá druhá odmocnina z rozptylu označovaná jako směrodatná odchylka[2].

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka je průměrná vzdálenost mezi jednotlivými údaji a jejich aritmetickým průměrem. Informuje nás o tom, jak daleko jsou v průměru jednotlivé údaje rozprostřené kolem svého aritmetického průměru[2]. Vypočítá se jako odmocnina z rozptylu a na rozdíl od rozptylu má stejný fyzikální rozměr jako původní veličina[3].

$ s=\sqrt s^2=\sqrt\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2} {n-1} $
(obrázek rovnice)

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$ s^2=\sqrt2,5 $
$ s^2=1,58 $

(obrázek rovnice)

Variační koeficient

Variační koeficient se používá v případě, kdy chceme posoudit relativní velikost rozptýlenosti dat vzhledem k průměru a někdy se uvádí v procentech[1]. Slouží k porovnání variability souborů, které mají nestejné průměry[3].

$ VK=\frac{S} {\bar{x}} $
(obrázek rovnice)

Modelový příklad: {1,2,3,4,5}

$ VK=\frac{1,58} {3} $
$ VK=0,53 $(53%)

(obrázek rovnice)

Reference

  1. 1,0 1,1 1,2 Hendl, J. (2006). Přehled statistických metod zpracování dat. Praha: Portál.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Ferjenčík, J. (2006). Základy štatistických metód v sociálnych vedách. Košice: Univerzita Pavla Jozefa Šafárika.
  3. 3,0 3,1 Zvára, K. (2004). Biostatistika. Praha: Nakladatelství Karolinum.