Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy: Porovnání verzí

Verze z 18. 8. 2015, 09:36

Obsah

1 Pravděpodobnost jevu
- 1.1 Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:
2 Podmíněná pravděpodobnost
3 Jevy
4 Matematické znaky

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.
$P(A)={\frac {m(A)}{m}}$
Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný.
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost
^[1] ^[2]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:

nemohou padnout dva výsledky současně
jeden z výsledků nastane vždy
každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1
$P(A)={\frac {m(A)}{m}}={\frac {1}{6}}$
Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je ${\frac {1}{6}}$

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}
př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)
$P(A)={\frac {3}{6}}$
$P(B)={\frac {3}{6}}$

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je ${\frac {1}{3}}$

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.
^[3]

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)
^[1]

Závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
a navíc Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) }

Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.

př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
m=6
A={3,4,5}
B={2,3}
C={1,3,5}

A ∩ B = {3}, P(A ∩ B)= $={\frac {1}{6}}$ B ∩ C = {3},P (B ∩ C)= $={\frac {1}{6}}$ A ∩ C = {3,5}, P (A ∩ C)= $={\frac {2}{6}}$

$P(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$
$P(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$
$P(C)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}} , $P(A/B)={\frac {{1}{6}.{1}{3}}{=}}{\frac {1}{6}}.{\frac {3}{1}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}} , $P(A/C)={\frac {{1}{3}.{1}{2}}{=}}frac{1}{3}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{3}}$ Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}} , $P(B/A)={\frac {{1}{6}.{1}{2}}{=}}{\frac {1}{6}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$ Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}} , $P(B/C)={\frac {{1}{6}.{1}{2}}{=}}{\frac {1}{6}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$ Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}} , $P(C/B)={\frac {{1}{6}.{1}{3}}{=}}{\frac {1}{6}}.{\frac {3}{1}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}} ,Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/A)=\frac{{1}{3}.{1}{2}=frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}}

Jsou jevy závislé či nezávislé? Jev A na jevu B $P(A)=P(A/B),{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ Jev A je nezávislý na jevu B

Jev A na jevu C Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}} Jev A je závislý na jevu C

Jev B na jevu A $P(B)=P(B/A),{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$ Jev B je nezávislý na jevu A

Jev B na jevu C $P(B)=P(B/C),{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$ Jev B je nezávislý na jevu C

Jev C na jevu B $P(C)=P(C/B),{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ Jev C je nezávislý na jevu B

Jev C na jevu A $P(C)=P(C/A),{\frac {1}{2}}={\frac {2}{3}}$ Jev C je závislý na jevu A

^[3] ^[1] ^[2]

Závislé a nezávislé jevy

Matematické znaky

Znak	Popis
P	pravděpodobnost
A	jev A, jevy se označují velkými písmeny
P (A)	pravděpodobnost jevu A
ω	jednotlivé možné výsledky
Ω	množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m	počet všech možných výsledků
A ∩ B	průnik jevů A a B
⊂	vlastní podmnožina
A ⊆ B	každý prvek A je zároveň prvkem B
∈	je prvkem množiny
ω ∈ A	výsledek příznivý jevu A
∉	není prvkem množiny
Ø	prázdná množina, jev nemožný
S	pravděpodobnostní prostor

^[3] ^[2]

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.

[K.C3.96NIGOV.C3.81.2C_Marie.-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství.

[CALDA.2C_Emil_a_V.C3.A1clav_DUPA.C4.8C.-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.

[BUD.C3.8DKOV.C3.81-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.

[1]

[2]

[3]

@@ Řádek 15: / Řádek 15: @@
 A={2}<br />
 m=6<br />
-m(A)=1<br /><br /><math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
+m(A)=1<br /><math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
 == Podmíněná pravděpodobnost ==
 Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.<br />
@@ Řádek 43: / Řádek 43: @@
 V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností:
 <math>P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)</math><br />
-<math>a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>
+a navíc <math>P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>
+Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.
+př. Hod hrací kostkou<br />
+Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
+m=6<br />
+A={3,4,5}<br />
+B={2,3}<br />
+C={1,3,5}<br />
+A ∩ B = {3}, P(A ∩ B)= <math>=\frac{1}{6}</math>
+B ∩ C = {3},P (B ∩ C)= <math>=\frac{1}{6}</math>
+A ∩ C = {3,5}, P (A ∩ C)= <math>=\frac{2}{6}</math>
+<math>P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br />
+<math>P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math><br />
+<math>P(C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br />
+<math>P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}</math>,<math>P(A/B)=\frac{{1}{6}.{1}{3}}=\frac{1}{6}.\frac{3}{1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math>
+<math>P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}</math>,<math>P(A/C)=\frac{{1}{3}.{1}{2}}=frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}</math>
+<math>P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}</math>, <math>P(B/A)=\frac{{1}{6}.{1}{2}}=\frac{1}{6}.\frac{2}{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math>
+<math>P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}</math>,<math>P(B/C)=\frac{{1}{6}.{1}{2}}=\frac{1}{6}.\frac{2}{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math>
+<math>P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}</math>,<math>P(C/B)=\frac{{1}{6}.{1}{3}}=\frac{1}{6}.\frac{3}{1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math>
+<math>P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}</math>,<math>P(C/A)=\frac{{1}{3}.{1}{2}=frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}</math>
+Jsou jevy závislé či nezávislé?
+Jev A na jevu B
+<math>P(A)=P(A/B),\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math>
+Jev A je nezávislý na jevu B
+Jev A na jevu C
+<math>P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}</math>
+Jev A je závislý na jevu C
+Jev B na jevu A
+<math>P(B)=P(B/A), \frac{1}{3}=\frac{1}{3}</math>
+Jev B je nezávislý na jevu A
+Jev B na jevu C
+<math>P(B)=P(B/C), \frac{1}{3}=\frac{1}{3}</math>
+Jev B je nezávislý na jevu C
+Jev C na jevu B
+<math>P(C)=P(C/B),\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math>
+Jev C je nezávislý na jevu B
+Jev C na jevu A
+<math>P(C)=P(C/A), \frac{1}{2}=\frac{2}{3}</math>
+Jev C je závislý na jevu A
 <ref name="BUDÍKOVÁ"/>
 <ref name="KÖNIGOVÁ, Marie." />