Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu. Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.

Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný. Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost

Získané znalosti můžeme využít například ve statistice při rozhodování či Hazardní hry (glosář RJ) [1][2]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky: náhodná veličina

  • nemohou padnout dva výsledky současně
  • jeden z výsledků nastane vždy
  • každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1

Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.

Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}

př. Hod hrací kostkou

Ω={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)



Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je
[3] [2] [1]

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.
[3]

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)
[1]

Stochasticky závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
a navíc Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) }

Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.

př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
m=6
A={3,4,5}
B={2,3}
C={1,3,5}

A ∩ B = {3}
P(A ∩ B)
B ∩ C = {3}
P(B ∩ C)
A ∩ C = {3,5}
P(A ∩ C)




Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}}


Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}}


Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}}


Jsou jevy závislé či nezávislé?

Jev A na jevu B
jev A je nezávislý na jevu B

Jev A na jevu C Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev A je závislý na jevu C

Jev B na jevu A
jev B je nezávislý na jevu A

Jev B na jevu C
jev B je nezávislý na jevu C

Jev C na jevu B
jev C je nezávislý na jevu B

Jev C na jevu A Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C)=P(C/A),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev C je závislý na jevu A

[3] [1] [2]

Závislé a nezávislé jevy

Matematické znaky

Znak Popis
P pravděpodobnost
A jev A, jevy se označují velkými písmeny
jev opačný jevu A
P (A) pravděpodobnost jevu A
ω jednotlivé možné výsledky
Ω množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m počet všech možných výsledků
A ∩ B průnik jevů A a B
vlastní podmnožina
A ⊆ B každý prvek A je zároveň prvkem B
je prvkem množiny
ω ∈ A výsledek příznivý jevu A
není prvkem množiny
Ø prázdná množina, jev nemožný
S pravděpodobnostní prostor

[3] [2]

Zdroje

Reference

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.

Související články