Paradoxy

Tento článek pojednává o různých matematických a logických paradoxech z pohledu filosofie logiky, nastiňuje různé přístupy a možnosti řešení. Články zaměřené na nejznámější z těchto paradoxů najdete zde.

Paradox (z řeckého paradoxos, což znamená nepodobný, neočekávaný, náhlý) nastává v situaci, kdy za neproblematického použití běžně používaných a uznávaným metod dojdeme k nepřijatelnému závěru. Můžeme-li v nějaké teorii formulovat paradox, znamená to, že je sporná.

Sémantické paradoxy

Paradox lháře

• neboli Epiménidův či Eubulidův paradox
• Tarski říká, že tento paradox lze formulovat, pokud jazyk umí pojmenovat vlastní výrazy, obsahuje predikát pravdivý a platí logické zákony
• autoreferenční věty jsou často problematické, ale jejich zakázáním tento paradox stejně neodstraníme, např.: Následující věta je pravdivá. Předchozí věta je nepravdivá.
• zavedení teorie typů - různé stupně co smí být argumentem a co smí být predikátem# individua

1. vlastnosti individuí / množiny individuí
2. vlastnosti vlastností individuí / množiny množin individuí
3. ...

• jazyk, metajazyk - někdy je problematické určit, na které úrovni se pohybujeme; takovým rozdělením pozměňujeme původní predikát pravdivý, ubíráme mu na jeho absolutnosti
• klasická prvořádová predikátová logika - mohli bychom si pojmenovat/očíslovat výroky a tak o nich mluvit

Grellingův paradox

• založen na pojmech heterologický (např.: jednoslabičný) a autologický - pojem je autologický, pokud vyjadřuje vlastnost, kterou sám nese (např.: mnohoslabičný)
• paradoxním je pojem heterologický

Paradoxy "naivní" teorie množin

• odstraněny uměle pomocí axiomatiky

Cantorův paradox

• axiom vydělení: $\forall a\exists b\forall x((x\in b)\equiv (x\in a\wedge \varphi (x))$

Paradoxy neostrého predikátu

Sorites

• neboli paradox holohlavého muže:
• neboli paradox hromady: ubereme-li z hromady písku jedno zrnko, máme stále hromadu... postupujeme takto dále, až nám zbudou tři, dvě, jedno zrnko - ale to už není hromada
• plynulý přechod na barevné škále - při malém pohybu se barva nezmění, ale najednou se dostaneme například od zelené ke žluté barvě, ale nevidíme, kde je jasný přechod

Paradoxy pravděpodobnosti

Monty Hallův paradox

• představme si například televizní soutěž: máme před sebou troje dveře, dvoje z nich za sebou skrývají kozu, jedny za sebou mají auto, které chce soutěžící získat
• zvolí si soutěžící jedny dveře, ze zbývajících dvou se otevřou jedny, za kterými je koza
• nyní má možnost změnit svoji volbu - otázka zní, zda se mu to vyplatí. ano!
• na začátku má náš soutěžící šanci 1/3, že se trefí a vyhraje
• možnosti: 1|0|0 ... 0|1|0 ... 0|0|1
• jestliže se jedna možnost vyřadí, jeho šance sestává z 2/3

Obálkový paradox

• máme před sebou dvě obálky, v jedné 1000 Kč, v druhé 2000 Kč
• mám-li v ruce jednu, je výhodné vybrat si to druhou? ano!
• buď ztratím polovinu částky, kterou mám v ruce, nebo získám dvojnásobek
• toto však lze dělat do nekonečna
• cca od roku 1973 se každý rok vydává minimálně jeden článek na toto téma

Zdroje

Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky Filosofie logiky. Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete zde.