Paradoxy

Tento článek pojednává o různých matematických a logických paradoxech z pohledu filosofie logiky, nastiňuje různé přístupy a možnosti řešení. Články zaměřené na nejznámější z těchto paradoxů najdete zde.

Paradox (z řeckého paradoxos, což znamená nepodobný, neočekávaný, náhlý)[1] nastává v situaci, kdy za neproblematického použití běžně používaných a uznávaným metod dojdeme k nepřijatelnému závěru. Můžeme-li v nějaké teorii formulovat paradox, znamená to, že je sporná.

Sémantické paradoxy

Paradox lháře

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.

Je též označován jako Epiménidův, Eubulidův či paradox Kréťana. Tarski říká, že tento paradox lze formulovat, pokud jazyk umí pojmenovat vlastní výrazy, obsahuje predikát pravdivý a platí logické zákony.

Znění: Existuje více různých variant, ale jejich podstata je stejná. Jde o autoreferenční výroky, které uvádí, že v ten stejný okamžik nemají určitou vlastnost, tedy pravdivost. Nelze však zjistit pravdivostní hodnotu věty dříve, než určíme, co znamená.
Tato věta je nepravdivá.
Nyní lžu.
Epimenidés (původem z Kréty) říká: "Všichni Kréťani jsou lháři." (tuto formulaci mnozí za paradoxní nepovažují)
  • autoreferenční věty jsou často problematické, ale jejich zakázáním tento paradox stejně neodstraníme, např.: Následující věta je pravdivá. Předchozí věta je nepravdivá.
  • zavedení teorie typů - různé stupně co smí být argumentem a co smí být predikátem
  1. individua
  2. vlastnosti individuí / množiny individuí
  3. vlastnosti vlastností individuí / množiny množin individuí
  4. ...
  • rozdělení na jazyk, metajazyk, meta-metajazyk a tak dále, kdy každá věta může vypovídat pouze o větě z ostře nižší úrovně - někdy je problematické určit, na které úrovni se pohybujeme; takovým rozdělením pozměňujeme původní predikát pravdivý, ubíráme mu na jeho absolutnosti, zavádíme "pravdivý v daném jazyce
  • klasická prvořádová predikátová logika - mohli bychom si pojmenovat/očíslovat výroky a tak o nich mluvit

Paradox holiče

Tento paradox je sémantickou variantou takzvaného Russellova paradoxu, ke kterému se dostaneme níže.
Znění: Holič je muž, který holí muže, kteří neholí sami sebe. Problém nastává v okamžiku, kdy by holič holil sám sebe.

Grellingův paradox

Pro tento paradox se též užívá označení heterologický.

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.
Znění: Tento paradox je založen na významu slov heterologický a autologický. Výraz je heterologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou sám nemá, například výraz anglický. Výraz je autologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou on sám má, například výraz český (jde o české slovo). Paradoxním je výraz heterologický.

"Problém s mluvením o smyslu označujícího komplexu může být vyjádřen takto: vložíme-li komplex do věty, bude tato věta o označeném; a jestliže vytvoříme větu, ve které bude podmětem "smysl [of] C", bude podmět smyslem (je-li jaký) označeného, což nebylo zamýšleno. (...) Kdykoli se ovšem C vyskytne mimo uvozovky, není vypovídané pravdivé o smyslu, ale pouze o označeném, jako když řekneme: těžiště sluneční soustavy je bod. Abychom tedy mluvili o C samotném, tj. vytvořili větu o smyslu, podmět nesmí být C, ale něco, co označuje C. Tudíž "C", které užíváme, když chceme mluvit o smyslu, nesmí být tímto smyslem, ale musí to být něco, co označuje tento smysl. A C nesmí být částí tohoto komplexu (jako ve "smysl [of] C"), neboť vyskytuje-li se C v tomto komplexu, bude se v ní vyskytovat to, co označuje, nikoli jeho smysl, a neexistuje cesta zpět od označeného ke smyslu, protože každý předmět může být označen nekonečným množstvím různých označujících frází. Tudíž by se zdálo, že "C" a C jsou rozdílné entity takové, že "C" označuje C; ale to nemůže být vysvětlení, protože vztah mezi "C" a C zůstává zcela záhadný."[2]

Problematický je přechod od výrazu k jeho vlastnosti a zpět. Použijeme-li nějaké označení, odkazuje k určitému objektu, smysl toho označení není týž, jako smysl objektu. Tedy od extenze k intenzi nevede jednoznačná cesta.

Paradoxy "naivní" teorie množin

  • odstraněny uměle pomocí axiomatiky

Russellův paradox

Cantorův paradox

  • axiom vydělení: $ \forall a \exists b \forall x ((x \in b)\equiv (x \in a \wedge \varphi(x)) $

Paradoxy neostrého predikátu

Sorites

Tento paradox má opět více variant. Pojmenování "sorites" pochází z řečtiny a znamená původně hromada.

Paradox hromady

Znění: Mějme hromadu písku. Ubereme-li z ní jedno zrnko, máme stále hromadu. Ubereme-li další, máme stále hromadu. Takto můžeme pokračovat... Budeme-li zrnka písku odebírat dostatečně dlouho, zůstanou před námi například dvě, nebo jen jedno zrnko. Je to stále hromada? A pokud ne, kdy nastala změna?

Paradox holohlavého muže

Znění: Mějme holohlavého muže. Tomu na hlavě vyroste jeden vlas... Dostáváme se do obdobné situace jako výše.

Barevné spektrum

Znění: Při pohledu na barevné spektrum můžeme přejít pohledem například od zelené ke žluté barvě, ale nevidíme mezi nimi jasnou hranici.

Paradoxy kontinua a pohybu

Zenonovy aporie

Achillés a želva

Letící šíp

Půlení intervelů

Paradoxy pravděpodobnosti

Monty Hallův paradox

Též označovaný jako problém tří dveří, je pojmenován po moderátorovi americké televizní soutěže.

Znění: Představme si televizní soutěž, soutěžící má před sebou troje dveře, dvoje z nich za sebou skrývají kozu, jedny za sebou mají vytoužené auto. Soutěžící si zvolí jedny dveře, ze zbývajících dvou se otevřou jedny, za kterými je koza. Nyní má možnost změnit svoji volbu. Otázka zní, zda se to vyplatí. Pravděpodobnost říká, že ano! Na začátku je šance soutěžícího na výhru 1/3, když vybírá se zbylých dvou možností, jeho šance je 2/3.

Obálkový paradox

Znění: Mějme před sebou dvě obálky, v jedné 1000 Kč, v druhé 2000 Kč. Vezmeme-li do ruky jednu (libovolně), je výhodné svůj výběr změnit? Podle pravděpodobnosti ano! Buď ztratíme polovinu částky, kterou máme v ruce, nebo ji zdvojnásobíme. Toto bychom však mohli dělat do nekonečna...

Zajímavost: Přibližně od roku 1973 se každoročně vydává minimálně jeden článek na toto téma.

Diagonální metoda

Diagonální metodu použil Georg Cantor pro dokázání, že reálných čísel je nespočetně mnoho. Cantorova diagonální metoda důkazu je velmi dobře vysvětlena v článku na Wikipedii.

  • poměrně silná metoda, protože s ní lze dokázat nekonečné mohutnosti
  • potenciální vs. aktuální nekonečno

Tuto metodu můžeme aplikovat i na vlastnosti, je možností řešení Grellingova paradoxu. Vlastnosti $ V_1, V_2, ... $ uspořádáme do tabulky tak, že:

  • píšeme 0, jestliže $ V_i $ nemá vlastnost $ V_i $
  • píšeme 1, jestliže $ V_i $ má vlastnost $ V_i $

Pak diagonála určuje také vlastnost, která však v tabulce není navzdory tomu, že jsme předpokládali seznam všech vlastností. Můžeme tedy říct, že diagonála neurčuje vlastnost. Problém je, proč by ale neměla. Nebo můžeme říci, že vlastnosti a vlastnosti vlastností jsou odlišné - v tabulce máme vlastnosti a na diagonále je vlastnost vlastností. Pro některé však toto nemůže platit, například dobré jablko, dobré je být člověkem.

Hilbertův hotel

Máme-li hotel s nekonečným spočetným počtem pokojů, který je plně obsazen, vždy v něm můžeme ubytovat dalšího hosta. Dokonce přijede-li plně obsazený autobus s nekonečně (spočetně) místy, můžeme ubytovat i všechny cestující. Jde-li o konečný počet osob, necháme dosavadní hosty, aby se přestěhovali do pokoje s číslem vyšším o počet budoucích hostů. Potřebný počet pokojů se nám uvolní. V případě nekonečně mnoha cestujících necháme hosty, aby se přestěhovali do pokojů s dvojnásobným číslem. Tím se uvolní všechny pokoje se sudými čísly.

Skolemův paradox

ZFC má spočetný model - Každý model ZFC musí obsahovat kardinály větší než omega, potenci omega, ta je dle Cantorovi věty ostře větší než omega, jak tedy může být obsažena ve spočetném modelu ZFC?

Hilary W.Putnam: Modely a realita "(...) To, co skolem ve skutečnosti dokázal, se týká následující věci: žádná zajímavá teorie (ve smyslu teorie prvního řádu) nemůže sama o sobě a ze sebe vymezit předměty, o nichž pojednává - ani když nám jde jenom o vymezení 'až na isomorfismus'. (...) Ta hlavní potíž však spočívá už v tom, že nám důsledky Skolemova argumentu vůbec problematické připadají. Připadají nám tak jen proto, že jsme se dopustili dvou věcí: nejprve jsme porozumění jazyku vysvětlili prostřednictvím programů a procedur pro užívání jazyka (jak taky jinak?); abychom si pak vzápětí položili otázku, jaké jsou 'modely' daného jazyka, jako by modely byly něčím, co prostě 'někde' existuje nezávisle na jakémkoli popisu. " (přel. Jan Kolář, v Logika 20.Století: Mezi filosofií a matematikou, uspořádal J. Peregrin, Filosofia Praha 2006, str. 393-422)

Zdroje

Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky Filosofie logiky. Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete zde.

Reference

  1. Paradox, článek na Wikipedia.cz
  2. Bertrand Russell. On Denoting. 1905.

Související články