Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura
, kde
je neprázdný nosič,
jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek,
je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita ![{\displaystyle \wedge ,\vee }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95c04402ead9d1eca305bd9be599054fe841c2f)
komutativita ![{\displaystyle \wedge ,\vee }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95c04402ead9d1eca305bd9be599054fe841c2f)
distributivita ![{\displaystyle \wedge ,\vee }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95c04402ead9d1eca305bd9be599054fe841c2f)
komplementarita ![{\displaystyle a\wedge -a=0,a\vee -a=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c99f292935ccd8627d883d7e7ed44c224dcaae6b)
absorpce ![{\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a,a\wedge (a\vee b)=a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7747810bf9d790cae768879e90bab1601db5842d)
nedegenerovanost ![{\displaystyle {\textbf {0}}\neq {\textbf {1}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9d73526061f83fe4a1882009828117f3663cd1)
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje
. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci
pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.
Dualita operací
Máme-li formuli
v jazyce
, pak její dualitu
vytvoříme tak, že nahradíme
za
,
za
,1 za 0 a 0 za 1. Formule
platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita
. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
Formule a zákony platné v Booleově algebře
![{\displaystyle a\leq b\equiv a\wedge b=a\equiv a\vee b=b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe48bb0637cfd92631b7e73aeec881a792931c3)
![{\displaystyle a-b\equiv a\wedge -b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079f39672ac57f3123265cc2d7d1f1c581b4a7c0)
(symetrický rozdíl)
![{\displaystyle --a=a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f41da9340aa90e85b344796bbcff4a6711322a2)
![{\displaystyle -a=-b\rightarrow a=b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63698b3b1795b1c7f76bb63c293d3ae59c4c79dc)
![{\displaystyle a\leq b\leftrightarrow -b\leq -a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5278831a8909109243ca56e827a74279e2a4f061)
===Zákon idempotence===![{\displaystyle a\wedge a=a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87f433c2782f31140e20d9516a737a36e68c5d)
===Zákon pohlcení===![{\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0caa61ea861e816dfb222fc78f5733cc925008)
Zákony de Morganovy
![{\displaystyle -(a\wedge b)=-a\vee -b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939c4318e3d7f773e9b94f4622204617b24be711)
![{\displaystyle -(a\vee b)=-a\wedge -b}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2ab423184e34b351905b67a35b2569f9169cf2)
Monotonie
Jestliže
a
, pak v každé Booleově algebře platí:
![{\displaystyle a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4206627b2083e877e4707b9537da0a508bead6a1)
![{\displaystyle a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec5c9ace28121f518b9a28ce0add0a5fda6ddbb)
![{\displaystyle -a_{2}\leq -a_{1}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9fc56400d6763e3edd3e76ebb7b1b9eaec78e2)
Isomorfismus BA
Dvě Booleovy algebry
a
jsou isomorfní (značíme
) právě tehdy, když
a
jsou isomorfní jako uspořádání.
Podalgebra
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
Mohutnost Booleovy algebry
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li
nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti
.
Zdroje
- BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.