Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura
, kde
je neprázdný nosič,
jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek,
je unární operátor na B a platí axiomy:
asociativita 
komutativita 
distributivita 
komplementarita 
absorpce 
nedegenerovanost 
Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.
Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje
. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci
pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.
Dualita operací
Algebraická dualita
Máme-li formuli
v jazyce
, pak její dualitu
vytvoříme tak, že nahradíme
za
,
za
,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy
Booleova algebra, pak je Booleova algebra i
. Formule
platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita
. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.
Stoneova dualita
Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.
Formule a zákony platné v Booleově algebře


(symetrický rozdíl)



Zákon idempotence

Zákon pohlcení

Zákony de Morganovy


Monotonie
Jestliže
a
, pak v každé Booleově algebře platí:



Isomorfismus BA
Dvě Booleovy algebry
a
jsou isomorfní (značíme
) právě tehdy, když
a
jsou isomorfní jako uspořádání.
Podalgebra
Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry
(operace podalgebry
jsou zúžením operací algebry
na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry
.
Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.
Mohutnost Booleovy algebry
Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li
nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti
. Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.
Zdroje
- BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.