Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy: Porovnání verzí

m
m
Řádek 9: Řádek 9:
 
* nemohou padnout dva výsledky současně
 
* nemohou padnout dva výsledky současně
 
* jeden z výsledků nastane vždy
 
* jeden z výsledků nastane vždy
* každý výsledek je stejně možný
+
* každý výsledek je stejně možný<br />
 +
př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2<br />
 +
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
 +
A={2}<br /><br />
 +
m=6
 +
m(A)=1
 +
<math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
 
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
 
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
 
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''<br />
 
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''<br />
 
př. Hod hrací kostkou<br />
 
př. Hod hrací kostkou<br />
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}<br />
+
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
A={1, 2, 3}<br />
+
A={1,2,3}<br />
B={2, 4, 6}<br />
+
B={2,4,6}<br />
 
A ∩ B = 2<br />
 
A ∩ B = 2<br />
 
 
<math>P (A ∩ B)=\frac{1}{6}</math>(z 6 možných se sejdou 1krát)<br />
 
<math>P (A ∩ B)=\frac{1}{6}</math>(z 6 možných se sejdou 1krát)<br />
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br />
 
 
 
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />'''
 
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />'''
  
Řádek 33: Řádek 36:
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
 
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br />
 
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br />
Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: '''<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math>''' přičemž A, B ∈ S <ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada"></ref><ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref>
+
Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: '''<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math>''' přičemž A, B ∈ S <ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada"></ref> <ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref><br />
<br />
 
 
== Matematické znaky ==
 
== Matematické znaky ==
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
Řádek 49: Řádek 51:
 
|-
 
|-
 
| Ω|| množina všech možných výsledků náhodného pokusu
 
| Ω|| množina všech možných výsledků náhodného pokusu
 +
|-
 +
| m || počet všech možných výsledků
 
|-
 
|-
 
| A ∩ B|| průnik jevů A a B
 
| A ∩ B|| průnik jevů A a B
Řádek 65: Řádek 69:
 
|-
 
|-
 
| S || pravděpodobnostní prostor
 
| S || pravděpodobnostní prostor
|}<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref>
+
|}<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref><br />
<br />
 
  
 
<references/>
 
<references/>

Verze z 12. 8. 2015, 09:26

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.
Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný.
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost [1] [2]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:

  • nemohou padnout dva výsledky současně
  • jeden z výsledků nastane vždy
  • každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}

m=6 m(A)=1

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}

př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)[3]

Závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S [3] [3]

Matematické znaky

Znak Popis
P pravděpodobnost
A jev A, jevy se označují velkými písmeny
P (A) pravděpodobnost jevu A
ω jednotlivé možné výsledky
Ω množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m počet všech možných výsledků
A ∩ B průnik jevů A a B
vlastní podmnožina
A ⊆ B každý prvek A je zároveň prvkem B
je prvkem množiny
ω ∈ A výsledek příznivý jevu A
není prvkem množiny
Ø prázdná množina, jev nemožný
S pravděpodobnostní prostor

[4][3]

  1. ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 100-101 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství)">
  2. ="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.">
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"> Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem
  4. ="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.">