Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.

Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný.
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost
[1] [1]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:

  • nemohou padnout dva výsledky současně
  • jeden z výsledků nastane vždy
  • každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1


Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}
př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)



Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)
[1]

Závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) } [1] [1] [1]

Závislé a nezávislé jevy

Matematické znaky

Znak Popis
P pravděpodobnost
A jev A, jevy se označují velkými písmeny
P (A) pravděpodobnost jevu A
ω jednotlivé možné výsledky
Ω množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m počet všech možných výsledků
A ∩ B průnik jevů A a B
vlastní podmnožina
A ⊆ B každý prvek A je zároveň prvkem B
je prvkem množiny
ω ∈ A výsledek příznivý jevu A
není prvkem množiny
Ø prázdná množina, jev nemožný
S pravděpodobnostní prostor

[1]

[1]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 ="KÖNIGOVÁ, Marie.">KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství."> Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem