Paradoxy

Tento článek pojednává o různých matematických a logických paradoxech z pohledu filosofie logiky, nastiňuje různé přístupy a možnosti řešení. Články zaměřené na nejznámější z těchto paradoxů najdete zde.

Paradox (z řeckého paradoxos, což znamená nepodobný, neočekávaný, náhlý) nastává v situaci, kdy za neproblematického použití běžně používaných a uznávaným metod dojdeme k nepřijatelnému závěru. Můžeme-li v nějaké teorii formulovat paradox, znamená to, že je sporná.

Sémantické paradoxy

Paradox lháře

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.

Je též označován jako Epiménidův, Eubulidův či paradox Kréťana. Tarski říká, že tento paradox lze formulovat, pokud jazyk umí pojmenovat vlastní výrazy, obsahuje predikát pravdivý a platí logické zákony.

Znění: Existuje více různých variant, ale jejich podstata je stejná. Jde o autoreferenční výroky, které uvádí, že v ten stejný okamžik nemají určitou vlastnost, tedy pravdivost. Nelze však zjistit pravdivostní hodnotu věty dříve, než určíme, co znamená. Tato věta je nepravdivá. Nyní lžu. Epimenidés (původem z Kréty) říká: "Všichni Kréťani jsou lháři." (tuto formulaci mnozí za paradoxní nepovažují)

• autoreferenční věty jsou často problematické, ale jejich zakázáním tento paradox stejně neodstraníme, např.: Následující věta je pravdivá. Předchozí věta je nepravdivá.
• zavedení teorie typů - různé stupně co smí být argumentem a co smí být predikátem

1. individua
2. vlastnosti individuí / množiny individuí
3. vlastnosti vlastností individuí / množiny množin individuí
4. ...

• jazyk, metajazyk - někdy je problematické určit, na které úrovni se pohybujeme; takovým rozdělením pozměňujeme původní predikát pravdivý, ubíráme mu na jeho absolutnosti
• klasická prvořádová predikátová logika - mohli bychom si pojmenovat/očíslovat výroky a tak o nich mluvit

Paradox holiče

Tento paradox je sémantickou variantou takzvaného Russellova paradoxu, ke kterému se dostaneme níže.

Znění: Holič je muž, který holí muže, kteří neholí sami sebe. Problém nastává v okamžiku, kdy by holič holil sám sebe.

Grellingův paradox

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.

Znění: Tento paradox je založen na významu slov heterologický a autologický. Výraz je heterologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou sám nemá, například výraz anglický. Výraz je autologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou on sám má, například výraz český (jde o české slovo). Paradoxním je výraz heterologický.

Pro tento paradox se též užívá označení heterologický.

Paradoxy "naivní" teorie množin

• odstraněny uměle pomocí axiomatiky

Cantorův paradox

• axiom vydělení: $\forall a\exists b\forall x((x\in b)\equiv (x\in a\wedge \varphi (x))$

Paradoxy neostrého predikátu

Sorites

Tento paradox má opět více variant. Pojmenování "sorites" pochází z řečtiny a znamená původně hromada.

Paradox hromady

Znění: Mějme hromadu písku. Ubereme-li z ní jedno zrnko, máme stále hromadu. Ubereme-li další, máme stále hromadu. Takto můžeme pokračovat... Budeme-li zrnka písku odebírat dostatečně dlouho, zůstanou před námi například dvě, nebo jen jedno zrnko. Je to stále hromada? A pokud ne, kdy nastala změna?

Paradox holohlavého muže

Znění: Mějme holohlavého muže. Tomu na hlavě vyroste jeden vlas... Dostáváme se do obdobné situace jako výše.

Barevné spektrum

Znění: Při pohledu na barevné spektrum můžeme přejít pohledem například od zelené ke žluté barvě, ale nevidíme mezi nimi jasnou hranici.

Paradoxy pravděpodobnosti

Monty Hallův paradox

• představme si například televizní soutěž: máme před sebou troje dveře, dvoje z nich za sebou skrývají kozu, jedny za sebou mají auto, které chce soutěžící získat
• zvolí si soutěžící jedny dveře, ze zbývajících dvou se otevřou jedny, za kterými je koza
• nyní má možnost změnit svoji volbu - otázka zní, zda se mu to vyplatí. ano!
• na začátku má náš soutěžící šanci 1/3, že se trefí a vyhraje
• možnosti: 1|0|0 ... 0|1|0 ... 0|0|1
• jestliže se jedna možnost vyřadí, jeho šance sestává z 2/3

Obálkový paradox

• máme před sebou dvě obálky, v jedné 1000 Kč, v druhé 2000 Kč
• mám-li v ruce jednu, je výhodné vybrat si to druhou? ano!
• buď ztratím polovinu částky, kterou mám v ruce, nebo získám dvojnásobek
• toto však lze dělat do nekonečna
• cca od roku 1973 se každý rok vydává minimálně jeden článek na toto téma

Zdroje

Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky Filosofie logiky. Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete zde.