Paradoxy

Tento článek pojednává o různých matematických a logických paradoxech z pohledu filosofie logiky, nastiňuje různé přístupy a možnosti řešení. Články zaměřené na nejznámější z těchto paradoxů najdete zde.

Paradox (z řeckého paradoxos, což znamená nepodobný, neočekávaný, náhlý) nastává v situaci, kdy za neproblematického použití běžně používaných a uznávaným metod dojdeme k nepřijatelnému závěru. Můžeme-li v nějaké teorii formulovat paradox, znamená to, že je sporná.

Sémantické paradoxy

Paradox lháře

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.

Je též označován jako Epiménidův, Eubulidův či paradox Kréťana. Tarski říká, že tento paradox lze formulovat, pokud jazyk umí pojmenovat vlastní výrazy, obsahuje predikát pravdivý a platí logické zákony.

Znění: Existuje více různých variant, ale jejich podstata je stejná. Jde o autoreferenční výroky, které uvádí, že v ten stejný okamžik nemají určitou vlastnost, tedy pravdivost. Nelze však zjistit pravdivostní hodnotu věty dříve, než určíme, co znamená. Tato věta je nepravdivá. Nyní lžu. Epimenidés (původem z Kréty) říká: "Všichni Kréťani jsou lháři." (tuto formulaci mnozí za paradoxní nepovažují)

• autoreferenční věty jsou často problematické, ale jejich zakázáním tento paradox stejně neodstraníme, např.: Následující věta je pravdivá. Předchozí věta je nepravdivá.
• zavedení teorie typů - různé stupně co smí být argumentem a co smí být predikátem

1. individua
2. vlastnosti individuí / množiny individuí
3. vlastnosti vlastností individuí / množiny množin individuí
4. ...

• rozdělení na jazyk, metajazyk, meta-metajazyk a tak dále, kdy každá věta může vypovídat pouze o větě z ostře nižší úrovně - někdy je problematické určit, na které úrovni se pohybujeme; takovým rozdělením pozměňujeme původní predikát pravdivý, ubíráme mu na jeho absolutnosti, zavádíme "pravdivý v daném jazyce
• klasická prvořádová predikátová logika - mohli bychom si pojmenovat/očíslovat výroky a tak o nich mluvit

Paradox holiče

Tento paradox je sémantickou variantou takzvaného Russellova paradoxu, ke kterému se dostaneme níže.

Znění: Holič je muž, který holí muže, kteří neholí sami sebe. Problém nastává v okamžiku, kdy by holič holil sám sebe.

Grellingův paradox

Pro tento paradox se též užívá označení heterologický.

Podrobnější článek na toto téma naleznete zde.

Znění: Tento paradox je založen na významu slov heterologický a autologický. Výraz je heterologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou sám nemá, například výraz anglický. Výraz je autologický, jestliže popisuje vlastnost, kterou on sám má, například výraz český (jde o české slovo). Paradoxním je výraz heterologický.

"Problém s mluvením o smyslu označujícího komplexu může být vyjádřen takto: vložíme-li komplex do věty, bude tato věta o označeném; a jestliže vytvoříme větu, ve které bude podmětem "smysl [of] C", bude podmět smyslem (je-li jaký) označeného, což nebylo zamýšleno. (...) Kdykoli se ovšem C vyskytne mimo uvozovky, není vypovídané pravdivé o smyslu, ale pouze o označeném, jako když řekneme: těžiště sluneční soustavy je bod. Abychom tedy mluvili o C samotném, tj. vytvořili větu o smyslu, podmět nesmí být C, ale něco, co označuje C. Tudíž "C", které užíváme, když chceme mluvit o smyslu, nesmí být tímto smyslem, ale musí to být něco, co označuje tento smysl. A C nesmí být částí tohoto komplexu (jako ve "smysl [of] C"), neboť vyskytuje-li se C v tomto komplexu, bude se v ní vyskytovat to, co označuje, nikoli jeho smysl, a neexistuje cesta zpět od označeného ke smyslu, protože každý předmět může být označen nekonečným množstvím různých označujících frází. Tudíž by se zdálo, že "C" a C jsou rozdílné entity takové, že "C" označuje C; ale to nemůže být vysvětlení, protože vztah mezi "C" a C zůstává zcela záhadný."

Problematický je přechod od výrazu k jeho vlastnosti a zpět. Použijeme-li nějaké označení, odkazuje k určitému objektu, smysl toho označení není týž, jako smysl objektu. Tedy od extenze k intenzi nevede jednoznačná cesta.

Paradoxy "naivní" teorie množin

• odstraněny uměle pomocí axiomatiky

Cantorův paradox

• axiom vydělení: $\forall a\exists b\forall x((x\in b)\equiv (x\in a\wedge \varphi (x))$

Paradoxy neostrého predikátu

Sorites

Tento paradox má opět více variant. Pojmenování "sorites" pochází z řečtiny a znamená původně hromada.

Paradox hromady

Znění: Mějme hromadu písku. Ubereme-li z ní jedno zrnko, máme stále hromadu. Ubereme-li další, máme stále hromadu. Takto můžeme pokračovat... Budeme-li zrnka písku odebírat dostatečně dlouho, zůstanou před námi například dvě, nebo jen jedno zrnko. Je to stále hromada? A pokud ne, kdy nastala změna?

Paradox holohlavého muže

Znění: Mějme holohlavého muže. Tomu na hlavě vyroste jeden vlas... Dostáváme se do obdobné situace jako výše.

Barevné spektrum

Znění: Při pohledu na barevné spektrum můžeme přejít pohledem například od zelené ke žluté barvě, ale nevidíme mezi nimi jasnou hranici.

Paradoxy pravděpodobnosti

Monty Hallův paradox

Též označovaný jako problém tří dveří, je pojmenován po moderátorovi americké televizní soutěže.

Znění: Představme si televizní soutěž, soutěžící má před sebou troje dveře, dvoje z nich za sebou skrývají kozu, jedny za sebou mají vytoužené auto. Soutěžící si zvolí jedny dveře, ze zbývajících dvou se otevřou jedny, za kterými je koza. Nyní má možnost změnit svoji volbu. Otázka zní, zda se to vyplatí. Pravděpodobnost říká, že ano! Na začátku je šance soutěžícího na výhru 1/3, když vybírá se zbylých dvou možností, jeho šance je 2/3.

Obálkový paradox

Znění: Mějme před sebou dvě obálky, v jedné 1000 Kč, v druhé 2000 Kč. Vezmeme-li do ruky jednu (libovolně), je výhodné svůj výběr změnit? Podle pravděpodobnosti ano! Buď ztratíme polovinu částky, kterou máme v ruce, nebo ji zdvojnásobíme. Toto bychom však mohli dělat do nekonečna...

Zajímavost: Přibližně od roku 1973 se každoročně vydává minimálně jeden článek na toto téma.

Zdroje

Tento článek vznikl na základě poznámek z přednášky Filosofie logiky. Doporučenou literaturu k tomuto tématu naleznete zde.

Související články

Analytická filosofie
Paradox lháře
Grellingův paradox
Russellův paradox
Cantorův paradox