Ideál

Množina ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ je ideál, pokud platí:

1. $\emptyset \in {\mathcal {I}},X\notin {\mathcal {I}}$
2. $A,B\in {\mathcal {I}}\rightarrow A\cup B\in {\mathcal {I}}$
3. $A\subseteq B,B\in {\mathcal {I}}\rightarrow A\in {\mathcal {I}}$

Duál k ideálu je filtr ${\mathcal {I}}^{*}=\{X\smallsetminus A:A\in {\mathcal {I}}\}$ Je-li ${\mathcal {I}}\subseteq \mathbb {B}$ ideál, pak ${\mathcal {I}}^{*}=\{-a:a\in {\mathcal {I}}\}$ je filtr.

Je-li ${\mathcal {I}}$ ideál na X $({\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(X))$, pak $({\mathcal {I}}\cup {\mathcal {I}}^{*},\cap ,\cup ,\emptyset ,X,-)$ je Booleova algebra.

Množina $A\subseteq \mathbb {B}$ je ideál, pokud je dolů uzavřená $(a\in A,b\leq a\rightarrow b\in A)$ a platí $(\forall a,b\in A)(a\vee b\in A)$. A je maximální ideál, pokud $(\forall a\in \mathbb {B} )(a\in A\vee -a\in A)$.

Zdroje

Poznámky z přednášek Booleovy algebry na Katedře Logiky.