Filtr

Množina $ F \subseteq \mathcal{P}(X) $ je filtr, pokud platí:

  1. $ \emptyset \notin F, X \in F $
  2. $ A, B \in F \rightarrow A \wedge B \in F $
  3. $ A \subseteq B, A \in F \rightarrow B \in F $

Duál k filtru je ideál: $ F^{*} = \{X\smallsetminus A: A \in F\} $

  • $ F_{n} $ je triviální filtr, pokud $ F_{n} = \{X \subseteq \mathbb{N}: n \in F_{n}\} $

Je-li $ A \subseteq \mathbb{B}^{+} $, pak platí:

  1. A je ultrafiltr, pokud $ (\forall a \in B)(a \in A \vee -a \in A) $
  2. A je prvofiltr (primefilter), pokud $ (a \vee b \in A \rightarrow (a \in A \vee b \in A) $
  3. A je maximální filtr, pokud $ \forall C \supset A $, $ C $ není filtr

Výše uvedené tři podmínky jsou ekvivalentní.
Důkaz:[1]

  1. Je-li U ultrafiltr, pak je prvofiltr.
  2. Je-li U prvofiltr, pak je maximální.
  3. Je-li U maximální, pak je ultra.

Je-li $ A \subseteq \mathbb{B}^{+} $ filtr, pak $ \exists U \supseteq F $, $ U $ je ultrafiltr.

Zdroje

  1. Honzík Radek. Boolean algebras (Lecture notes). (2012).

Poznámky z přednášek Booleovy algebry na Katedře Logiky.