Ideál

Množina $ \mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(X) $ je ideál, pokud platí:

  1. $ \emptyset \in \mathcal{I}, X \notin \mathcal{I} $
  2. $ A, B \in \mathcal{I} \rightarrow A \cup B \in \mathcal{I} $
  3. $ A \subseteq B, B \in \mathcal{I} \rightarrow A \in \mathcal{I} $

Duál k ideálu je filtr $ \mathcal{I}^{*} = \{X\smallsetminus A: A \in \mathcal{I}\} $ Je-li $ \mathcal{I} \subseteq \mathbb{B} $ ideál, pak $ \mathcal{I}^{*} = \{-a: a \in \mathcal{I}\} $ je filtr.


Je-li $ \mathcal{I} $ ideál na X $ (\mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(X)) $, pak $ (\mathcal{I} \cup \mathcal{I}^{*}, \cap, \cup, \emptyset, X, -) $ je Booleova algebra.


Množina $ A \subseteq \mathbb{B} $ je ideál, pokud je dolů uzavřená $ (a \in A, b \leq a \rightarrow b \in A) $ a platí $ (\forall a, b \in A)(a \vee b \in A) $. A je maximální ideál, pokud $ (\forall a \in \mathbb{B})(a \in A \vee -a \in A) $.


Zdroje

Poznámky z přednášek Booleovy algebry na Katedře Logiky.