Popište definici pojmu tautologie, kontradikce a uveďte, jak je možné ověřit, zda nějaký výrok je tautologie: Porovnání verzí

Řádek 1: Řádek 1:
  
 
== Výroková logika ==  
 
== Výroková logika ==  
Základem [[Co je to výroková logika?|výrokové logiky]] je pochopitelně '''výrok'''. Výrokem je každá oznamovací věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu.<ref>[https://matematika.cz/vyroky Matematika.cz. ''Výroková logika''.Vydavatelství Nová média, © 2006—2014.]</ref>
+
Základem [[Co je to výroková logika?|výrokové logiky]] je pochopitelně '''výrok'''. Výrokem je každá oznamovací věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu.<ref>[https://matematika.cz/vyroky Matematika.cz. ''Výroková logika''.Vydavatelství Nová média, © 2006—2014.]</ref> Výrokem tedy nemohou být věty rozkazovací nebo otázky.
  
 
=== Výroky ===
 
=== Výroky ===
Řádek 12: Řádek 12:
  
 
*'''2. Kontradikce''' - ''věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci'' (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. '''I<sub>(v)</sub>=0'''  
 
*'''2. Kontradikce''' - ''věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci'' (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. '''I<sub>(v)</sub>=0'''  
Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhy a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá.
+
Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhý a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá.
  
 
*'''3. Splnitelný výrok''' - Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt alespoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.
 
*'''3. Splnitelný výrok''' - Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt alespoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.

Verze z 4. 9. 2020, 23:42

Výroková logika

Základem výrokové logiky je pochopitelně výrok. Výrokem je každá oznamovací věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu.[1] Výrokem tedy nemohou být věty rozkazovací nebo otázky.

Výroky

Výroky mají 3 možné závěry:

  • 1. Tautologie - věta, která nabývá hodnoty „pravda“ při každé interpretaci. Formule je tautologie, jestliže je pravdivá při každém pravdivostním ohodnocení svých výrokových proměnných. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 1. I(v)=1

Příklad: „Buď bude zítra pršet, nebo zítra pršet nebude“

  • 2. Kontradikce - věta, která nabývá hodnoty „nepravda“ při každé interpretaci (tedy formule, která není žádnou interpretací splňována). Je opakem tautologie, tj. formule, která není nikdy splnitelná, taková formule je při všech kombinacích pravdivostních hodnot prvotních výroků nepravdivá. Tzn. pro každou interpretaci (I) jsou vždy všechny hodnoty 0. I(v)=0

Kontradiktorní mohou byt i dva atributy, pokud nemají žádný společný prvek a dohromady pokrývají všechny možné případy. Například výroky „A je bílé“ a „A není bílé“ jsou kontradiktorické, protože pokud platí jeden, nemůže platit druhý a naopak. Konjunkce takových výroků je vždy nepravdivá.

  • 3. Splnitelný výrok - Znamená to, že pro takovou formuli lze nalézt alespoň jednu kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků, při které je složený výrok pravdivý. Tautologie jsou tedy splnitelné formule, ale ne všechny splnitelné formule jsou tautologie.

Gramatická pravidla

  • Složené výroky se označují písmeny A, B
  • Dobře utvořený výraz DUV
  • Pravda = 1
  • Nepravda = 0

Logické operátory:

  • ¬ Negace (NOT) - ari = 1 (jedna arita). V případě opačných znamének (pravda je lež a naopak).
  • ∧ Konjunkce (AND) - ari = 2. Jestliže (A ∧ B)I = 0 právě když AI = 0, BI = 0. Pokud je alespoň jeden výrok 0 (0,1 / 1,0)
  • V Disjunkce (OR) - ari = 2. Jestliže (A V B)I = 1 právě když AI = 1, BI = 1. Pokud je alespoň jeden výrok 1 (1,0 / 0,1)
  • → Implikace - ari = 2. Z nepravdy plyne cokoliv. Tzn. (A → B)I = 1 jestliže AI = 1, BI = 1 nebo AI = 0, BI = 1. Případ (A → B)I = 0 POUZE pokud AI = 1, BI = 0
  • ↔ Ekvivalence - ari = 2. Jestliže (A ↔ B)I = 1 právě když A = B. Případ (A ↔ B)I = 0 pokud A ≠ B

- Jestliže A,B je prvkem DUV, potom platí ¬A nebo (A ∧ B) nebo (A V B) nebo (A → B) nebo (A ↔ B)

Mezi nejznámější „zákony“ výrokové logiky patří např.:

  • Zákon sporu: A ∧ ¬A je kontradikce.
  • Zákon vyloučení 3. možnosti: A ∨ ¬A je tautologie.
  • Zákon dvojí negace: A ↔ ¬¬A je tautologie.

Pravdivostní tabulky

To, zda je výrok pravdivý nebo nepravdivý lze ověřit pomocí pravdivostních tabulek – tabulková metoda (vytvoříme si tabulku formule, a pokud je formuli v každém řádku přiřazena jednička, je to tautologie).

Logika-001.jpg



Pravdivostní tabulky tautologie.jpg

Metoda protipříkladu – ověřování tautologií (vyplývání) sporem:

Tabulková metoda ověřování logického vyplývání či logických zákonů, splnitelnosti, atd. je vhodná pouze pro formule s malým počtem výrokových proměnných. Vždyť již při čtyřech proměnných má příslušná tabulka 16 řádků. Proto jsou používány jiné, efektivnější metody. Jednou z nich je metoda protipříkladu, která je zejména vhodná pro ověřování tautologií ve tvaru implikace a pro ověřování logického vyplývání.

Zdroje

Reference

Související články

Klíčová slova

logika, výroková logika, pravdivostní hodnoty, pravdivostní tabulky, logické operátory, Aristotelovská logika, formule výrokové logiky, tautologie, kontradikce, splnitelný výrok, negace, konjunkce, disjunkce, ekvivalence, implikace