Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu. Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.

$P(A)={\frac {m(A)}{m}}$

Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný. Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost

Získané znalosti můžeme využít například ve statistice při rozhodování či Hazardní hry (glosář RJ)

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky: náhodná veličina

• nemohou padnout dva výsledky současně
• jeden z výsledků nastane vždy
• každý výsledek je stejně možný
  

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1
$P(A)={\frac {m(A)}{m}}={\frac {1}{6}}$
Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je ${\frac {1}{6}}$

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.

Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}

př. Hod hrací kostkou

Ω={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)
$P(A)={\frac {3}{6}}$
$P(B)={\frac {3}{6}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je ${\frac {1}{3}}$

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)

Stochasticky závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
a navíc Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) }

Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.

př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
m=6
A={3,4,5}
B={2,3}
C={1,3,5}

A ∩ B = {3}
P(A ∩ B)$={\frac {1}{6}}$
B ∩ C = {3}
P(B ∩ C)$={\frac {1}{6}}$
A ∩ C = {3,5}
P(A ∩ C)$={\frac {2}{6}}$

$P(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$
$P(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$
$P(C)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}}
$P(A/B)={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{3}}}={\frac {1}{6}}.{\frac {3}{1}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}}
$P(A/C)={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{3}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}}
$P(B/A)={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{6}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}}
$P(B/C)={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{6}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}}
$P(C/B)={\frac {\frac {1}{6}}{\frac {1}{3}}}={\frac {1}{6}}.{\frac {3}{1}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}}
$P(C/A)={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.{\frac {2}{1}}={\frac {2}{3}}$

Jsou jevy závislé či nezávislé?

Jev A na jevu B $P(A)=P(A/B),{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$
jev A je nezávislý na jevu B

Jev A na jevu C Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev A je závislý na jevu C

Jev B na jevu A $P(B)=P(B/A),{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$
jev B je nezávislý na jevu A

Jev B na jevu C $P(B)=P(B/C),{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$
jev B je nezávislý na jevu C

Jev C na jevu B $P(C)=P(C/B),{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$
jev C je nezávislý na jevu B

Jev C na jevu A Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C)=P(C/A),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev C je závislý na jevu A

Matematické znaky

Znak	Popis
P	pravděpodobnost
A	jev A, jevy se označují velkými písmeny
A´	jev opačný jevu A
P (A)	pravděpodobnost jevu A
ω	jednotlivé možné výsledky
Ω	množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m	počet všech možných výsledků
A ∩ B	průnik jevů A a B
⊂	vlastní podmnožina
A ⊆ B	každý prvek A je zároveň prvkem B
∈	je prvkem množiny
ω ∈ A	výsledek příznivý jevu A
∉	není prvkem množiny
Ø	prázdná množina, jev nemožný
S	pravděpodobnostní prostor

Zdroje

Související články

• Úplná pravděpodobnost
• Bayesův vzorec
• Statistika