Pojem náhodné veličiny a její vlastnosti: pravděpodobnostní rozdělení, distribuční funkce

Náhodná veličina

(používají se i různé kombinace slov náhodná, stochastická nebo náhodová a proměnná nebo veličina) je libovolná veličina, kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami teorie pravděpodobnosti nebo matematické statistiky. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.

Formální definice:

• Nechť:(Ω, F, P) je pravděpodobnostní prostor; to znamená, že
• je libovolná neprázdná množina (množina elementárních jevů),
• je libovolný systém podmnožin , který tvoří Ω algebru, a
• je pravděpodobnost, čili míra na , která je normovaná tak, že
• je množina všech reálných čísel s borelovskou Ω algebrou podmnožin
• Náhodnou veličinou pak nazýváme každé zobrazení přiřazující elementárnímu jevu reálné číslo, tj., pokud je měřitelné, t.j. pokud pro každou množinu B∈β platí, že (ω; ω∈Ω,X(ω)∈B)∈F.

Náhodnou veličinu lze jednoduše charakterizovat jako veličinu, jejíž hodnoty závisí na náhodě.

• Odborná definice náhodné veličiny zní:

Uvažujme výběrový prostor Ω přiřazený k výsledkům určitého pokusu. Náhodná veličina, kterou označíme X, je funkce, která prvkům Ω výběrového prostoru Ω přiřazuje reálná čísla x, kde x=X(ω).

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina X bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu x značíme P(X=x), P[X=x] nebo stručně P(x).

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot x diskrétní náhodné proměnné X je roven 1.

Důležitá diskrétní rozdělení

• Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1)
• Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností)
• Poissonovo rozdělení
• Negativně binomické rozdělení
• Pascalovo rozdělení (speciální případ negativně binomického rozdělení)
• Geometrické rozdělení (speciální případ Pascalova rozdělení)
• Hypergeometrické rozdělení
• Logaritmické rozdělení

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci F(x). Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě. Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti.

Důležitá spojitá rozdělení

• Rovnoměrné rozdělení
• Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení)
• Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení)
• Exponenciální rozdělení
• Cauchyho rozdělení
• Gama rozdělení
• Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení)
• Logistické rozdělení
• Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení
• Studentovo rozdělení
• Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
• χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Číselné charakteristiky náhodné veličiny

Náhodná veličina X je jednoznačně určena rozdělením pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní funkce nebo distribuční funkce. Tyto funkce však mohou být velmi pracné a často poměrně složité. Proto je výhodné shrnout informace o náhodné veličině do několika čísel, které ji dostatečně charakterizují. Tyto čísla nazíváme číselné charakteristiky. Dělíme je:

• Podle způsobu konstrukce na charakteristiky - momentové, kvantilové a ostatní
• Podle toho, které vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti charakterizují na charakteristiky - polohy, variability, šikmosti, špičatosti

Odkazy

Související články

• Náhodná veličina
• Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy
• Pravděpodobnost
• Statistika

Klíčová slova

Pravděpodobnost, definice, náhodná veličina, funkce, vlastnosti náhodné veličiny, číselná charakteristika